Прочность, устойчивость, колебания. Том 1 - Биргер И.А.
Скачать (прямая ссылка):
нелинейным дифференциальным уравнением четвертого порядка. Интегрирование
последнего может быть проведено трудоемкими численными методами или
методом последовательных приближений [41. Несколько более удобен
вариационный метод.
Осесимметричные пластинки. Для осесимметричных пластинок задача
упрощается, но требует все же значительных вычислений. На рис. 4
приведены результаты решения задачи упруго-пластического изгиба круглой
пластинки, опертой по контуру и загруженной равно мерным давлением q\
решение получено на основе теории упруго-пластических деформаций [8]. По
оси ординат отложен безразмерный про-
GhV 3 "
гиб в центре ю0 -- g-frT w, где G - модуль сдвига; по оси абсцисс
Рис. 4. Зависимость прогиба от нагрузки при упруго-пластическом изгибе
опертой круглой апас1инки под действием равномерного давлении
Расчет пластинок при упруго-пластических деформациях 621
отложена безразмерная нагрузка q0 = -^- q. При <70< 5,7 пластинка
деформируется упруго; при q0 > 5,7 прогиб нарастает быстрее чем нагрузка.
Изгиб пластинок из упрочняющегося материала
Основные соотношении. Расчет упрочняющихся пластин по теории
пластического течения требует большой вычислительной работы. Поэтому, как
правило, используют уравнения теории упруго-пласти-ческнх деформаций. Для
упрощения задачи принимают условие несжимаемости. Уравнения изгиба
пластин при общей зависимости между интенсивностями напряжений и
деформаций приведены в работе [4J. Эти зависимости существенно упрощаются
для случая степенного закона
Yi = или т* = (22)
где т, В - постоянные, причем и = -; В ~ В т
На основании упругой аналогии (см. гл. 4) задачи о пластическом изгибе и
ползучести пластин имеют аналогичные математические формулировки.
Ползучесть изгибаемых пластин при степенном законе подробно рассмотрена
на стр. (623), приводимые в ней решения можно переносить на случай
пластической деформации пластин, если вместо скорости прогиба w писать
прогиб w, а постоянной В придавать значение. соответствующее закону (22).
Решения частных задач приведены в табл. 2.
При степенном законе зависимости между моментами и кривизнами имеют вид
Л], - DuI*-1 ( кх -г -i- Ку) ; М" - Dv>l~' (ку t
И = ^-Dxl'-'xXy, (23)
где введены жесткость пластины D - -- и параметр кривизны
_1_
x^(xl h*j,+W!, + *w)2. (2-1)
Внося зависимости (23) в уравнение (5), получим дифференциальное
уравнение прогиба щ это будет нелинейное уравнение четвертого порядка,
переходящее при т - 1 в классическое уравнение (21). Решение этого
нелинейного ураннения наталкивается на большие трудности и реализуется
численными способами или методом носледоват.- 'ьных приближений (метод
"упругих решений").
622 Расчет пластинок с учетом пластичности и ползучести
2 Г о л з учесть круглых и кольцевых пластин
с:*(tm), 1 С 1":р;и'ть прогиба и напряжения j
[-*-ф2Ь-*¦] В центре- ^ _ llfrs [' irrt 12 Vi И 12 \ l3"i, j Г рафик
S', на рис. 7. Напряжения вычисляются по формулам (31). Изгибающие
моменты Afr = -A.fl6* [i+-|-*(,h)] (1 - ps); ¦iUv=s>-g-9b* [1+-g_|lf 0-
3P*)]. где p=~. График /\ (*n) ii.i рнс. 8. |1,1иби<1ьшне напряжении в
центре (р - С)
-JP А А "•-ф2Ь--*4 В центре i_ 7 /,*( 7/> г 12 ' 48nDS, > График
5а на рис. 7
?и ,)Х { qb* |r/l 4 /13 1 12 |ЛЗ DSt } График Ss на рис. 7.
Напряжения вычисляют по формулам (31), а изгибающие моменты по формулам
(30), причем где
¦Л ¦-i-<- р "4# -* ф2Ь "-j В центре ""---т(мБ57)т График S4 на
рнс. 7.
-*\ф jo Наружного края г = Ь 6" ' р*1+|Мт wb - 12 \ 24nDS, } '
где Р - полное усилие. Графики Ss в зависимости от а см. рис. 9. -г- "=¦
1п- а + 7 (1 - с-)
Расчет пластинок при деформациях ползучести
62.1
Вариационное уравнение прогиба пластинки, вытекающее из принципа минимума
полной энергии (см. гл. 3), имеет вид
| J j и1+,Х dxdy - И-mm. (25)
Работу внешних сил для пластин, края которых оперты, заделаны или
свободны, определяют по формуле
А = С f 1 (*. У) Ш dx dy. (ЭД
Первое слагаемое в выражении (25) - энергия деформации пластинки U.
Грубое приближенное решение легко получить из вариационного уравнения
(25), полагай
W = CWQ,
где гас - решение для соответствующей упругой задачи. Тогда из уравнения
(25) следует, что
с _ Г Л(Шо) iw
l-(i-p)t/(*'0)J
Более точные результаты можно получить, применяя модифицированный метод
Ритца (см. гл. 3).
Использование критерия Треска-Сен-Венана. Определение прогибе"
осесимметричных пластин значительно упрощается при использовании критерия
Треска-Сен-Венана и ассоциированного закона пластического течения (см.
гл. 3). При этом возможен численный расчет прогибов с непосредственным
использованием машинной диаграммы растяжения [3].
Целесообразно применение метода переменных параметров упру гости, так как
в данном случае можно построить решение упругой задачи с переменными
значениями модуля ? по толщине и ради\су пластинки. Сначала рассматривают
решение при Е - const, затем определяют секущий модуль (по найденному
решению и закону деформации) и снова решают упругую задачу, но с
