Прочность, устойчивость, колебания. Том 1 - Биргер И.А.
Скачать (прямая ссылка):
Искривленность срединной поверхности характеризуется радиусами нормальной
кривизны Ra, /?р, Первая из них является радиусом плоской кривой,
получающейся при пересечении срединной поверхности плоскостью, проходящей
через нормаль к поверхности и касательную к линии а. Вторая,
соответственно, является радиусом нормального сечения в направлении
второй координатной линии. Введенные величины связаны с радиусом-вектором
срединной поверхности н ортом нормали соотношениями
1 ¦* (Рг I -> &г
~~RZ ~ П А даА да " Raf " А даВ д$ '
I
(5)
в арв ар ¦ .
Координатные линии, к которых ~- = 0, называют линиями елав-Ra$
ных кривизн.
С радиусами кривизны связана очень важная для понимания характера работы
оболочки величина
К = -тЛ (С)
"о*В R-afi
называемая гауссовой кривизной срединной поверхности. Примером оболочки,
имеющей во всех своих точках положительную гауссову кривизну, может
служить сферическая оболочка, нулевую - цилиндрическая и коническая,
отрицательную - седлообразная. Встречаются оболочки и смешанной кривизны,
например, торообразная (рис 1 гл. 25).
Радиусы кривизны и параметры Ляме связаны между собой соотношениями
Кодации-Гаусса
(7)
д ( А )+х- д / в" \ 1 дА
де \ R& дгх \ "ов ) "" % ' W
д (- U-• д ( - \ I дВ
да \ к* ) ' А dp \ К,ф ) _ Ка да
*-(. 1 дВ А-( 1 дА \
да \ А да ) ¦ dP \ В ' вр )
= - АВ ^ "ад
Деформация оболочки
"31
Если граничный контур не совпадает с координатной линией я внешняя
нормаль к нему составляет с координатной линией (а) некоторый угол ю. то
для направлений, характеризуемых (рис. 2) так называемой тангенциальной
нормалью v и касательной к контуру I, кривизны (величины обратные
радиусам крнннчн) подсчитывают по формулам
I _ cos- ш 2 sm w cos to , sin2 to Kv К(ф ftp '
1 I \ cos2 to - sin2 to
= Ы11 CO COS Ci!
/ J I_\
\ "" "b /
ftuP
bill- (I) Ra "
I Sill UJ COS Cl)
(8;
Обозначим через ft толщину оболочки И через R наименьший линейный размер
срединной поверхности. Принято делить оболочки на тонкие и толстые в
зависимости от величины отношения Обычно [15] оболочку относят к тонким
при Л . I ..
. эта оценка условная, ориентировочная. Теорию тонких оболочек при Л i 1
меняют н при --
ДЕФОРМАЦИЯ ОБОДОЧКИ
В линейной теории рассматривают перемещения, малые по сравнению с
толщиной. Будем определять положение точки в оболочке ее расстоянием от
срединной поверхности по нормали (?) и координатами основания нормали
(ос, (}). Введем сектор смещения точек срединной поверхности
V - иеа
v,'fi
Р)
н вектор смещения произвольной точки обоючки
V' = 1Лс" + + 1Г^я. (10)
В теории гонких оболочек при рассмотрении деформации оболочки принимают
первую (кинематическую) гипотезу Кирхгофаг согласно которой волокно,
нормальное к срединной поверхности до деформации, остается нормальным к
деформированной срединной поверхности, не меняя при этом своей длины.
Сформулированная гипотеза дает следующую связь между смещениями точки
оболочки и соответствующей ей точки срединной поверхности:
V * = v ~
\(Л -
I")
632
Общие уравнения теории тонких оболочек
здесь Оа и Ор два из показанных на рис. 3 четырех углов, описывающих
поворот (в процесс деформации) касательных к координатным линиям. При
этом
dw и
~АЖ *" Ra ~~
dw
~Bdf
Величина
ыр =
Р.п-
dv
да
ди
ар
I
АВ '
дА
ар
#ср *
(12)
?оа-шр _ 1 (dBv дАи\
2 2ав~ (*аа ар")
(13)
является средним поворотом окрестности рассматриваемой точки срединной
поверхности вокруг нормали к срединной поверхности.
Деформацию же срединной поверхности (ее растяжение н скаши-ание)
описывают шесть компонентов деформации 1 ди I дА , и)
~A'~fa " ~АВ'~др" V~r~Ra'
I ди t I дВ , w (^)
В ар ' АВ да U 1 R& 1
еа -4 =
Деформация оболочки
633
В д ( и \ А о ( и \ 2 vn
Y-<ou-h*V- А ¦ ^ ) -t в • dp [~А )- Raр ;
I dV>a
, , 1 дЛ_
да + АЬ ' дф
I д%_ _1_ дВ
' В ' df> + АВ ' да
xt +
'"Ц I I
Re + R^_Ia +
I дА АВ' др
с"
з - ¦ ^GfS *
п "К '
S- + a е" '
1 дда
В ' <?Р
(И)
1 дВ АВ ' да
(15)
Величины ea. eg, у обычно называют компонентами тангенциальной (иногда
цепной, мембранной) деформации. При этом еа и eg являются относительными
удлинениями волокон, совпадающих соответственно с координатными линиями а
и (5; у - характеризуют сдвнг срединной поверхности, т. е уменьшение
первоначально прямого угла между координатными линиями. Компоненты
изгибной деформации у.а, xg описывают изгиб срединной поверхности а т -
ее скручивание в процессе деформации.
Компоненты деформации не являются независимыми величинами, а подчиняются
уравнениям неразрывности срединной поверхности. дВхц 1 дА т дВ
634
Общие уравнения теории тонких оболочек
+ Tta (• Т" + ^ 0;
Я"
_д 1_
да ' Л
дВер да'
_ки_
Ъ '
дА*
д 1 J дЛеа ар ' в \ ар
Щ [(""Г
_ J_ в
I
*6
ар
_Y_
2
дВ
~ "о / +
UC)
выведенным из условия, что элемент срединной поверхности деформируется
непрерывно. Уравнения (16) являются также условиями совместности,
гарантирующими возможность по заданным компонентам деформации определить
