Прочность, устойчивость, колебания. Том 1 - Биргер И.А.
Скачать (прямая ссылка):
поддерживают упругие балки (V - О. Л
ь-Ч aD (М*)п,ах =
с. с"
со •J.U04U6 0,04. Ч 0.047У
100 0,00404 0,0481 0.0477
30 0,00410 0,0486 0.0473
10 0,00434 0,0500 0.0465
6 0,00454 0.0514 0.0455
4 0,00472 0.0528 0.D117
2 0,00520 0,0571 0,041"
1 0,00624 0.064 ' 0,0376
0,0 0.00756 0,0744 0,0315
0 0.0130" 0. |225 0,027!
П р >1 м •t а к я (' CJ - жесткость каждый из по дкгч'плякнцич балок
КРУГЛЫЕ ПЛАСТИНКИ ПРИ ОСЕСИММЕТРИЧНОЙ ДЕФОРМАЦИИ
Основные уравнения и граночные условия
Если поперечная нагрузка, действующая на пластинку, распределена
симметрично относительно оси, проходящей через центр пластинки, то во
всех точках, равноудаленных от центра пластинки, прогибы и Все остальные
величины, характеризующие напряженное состояние, будут одинаковыми.
Диаметральное сечение срединной поверхности деформированной пластинки
покатано на рис. 18. Пользуемся цилиндрической системой координат, начало
координат О совпадает с центром недеформированнои пластинки, ось г
совмещена с осыо симметрии пластинки, основная плоскость- со срединной
плоскостью.
Расстояние произвольной точки т От оси г обозначено через г; 0 - угол
между нормалью к поверхности, проведенной через т, и осью г:
" = -?• <118>
Угол 0 отсчитывают в паправле- Рис. 18
нни, обратном вращению от оси г к оси г; поэтому в равенстве (118) принят
знак минус.
Кривизна изогнутой поверхности в диаметральном сечении (для Пологой
кривой)
564 Изгиб и осесимметричное растяжение пластинок
.120)
Кривизну в сечении, проходящем через нормаль Ат и перпендикуляр к
плоскости гг, определяют по формуле
*ф = -1-е. (12.)
Кривизна кручения при осесимметричном изгибе равна нулю, кривизны (120) и
(122) являются главными.
Рис. 19. Условии panновеекя элемента пластинки
На рис. 19 показан элемент пластинки, ограниченный двумя радиальными
сечениями, угол между которыми ранен d<p. и двумя дуговыми сечениями,
одно из них расположено на окружности радиуса г, г второе - на окружности
радиуса г f- dr. М, и Мщ. - изгибающие моменты, действующие по окружным и
диаметральным сечениям пластинки соответственно и отнесенные к единице
длины; на рисунке нанесены вектор-моменты. Q - поперечная сила в дуговом
сечении. Крутящие моменты от су гствуют, поперечная сила в радиальном
сечении также равна пулю.
Для определения изгибающих моментов воспользуемся формулами типа (12);
получим
Мг =?>(*, + vxjp); (123)
Мф = D (Кф + vxr). (124)
ЕКЛ
где D = ^^ ; И - толщина пластинки.
Круглые пластинки
565
Выражения (123) и (124) можно представить в виде
>(^+-г--?М-?+-Н: <>*>
m,J-D(J-.^ + v^.) = B-1 + v4). (1эд
Взаимно перпендикулярные оси х (вдоль радиуса) и у (вдоль касательной)
проведены через середину внешней дуги (см. рис. 19). Уравнение равновесия
в моментах относительно оси у после отбрасывания величин нысшего порядка
малости принимает вид
dM, Mr М(
dr
+ ~Г / - ~Ч- (127)
Пусть задана интенсивность поперечной нагрузки q в функции г; тогда
перерезывающую силу Q можно выразить в виде
Q - -jr | ч' dr. (128)
()
Уравнение равновесия (127), с учетом выражений (125), (126) и (128),
можно записать
(129)
Введем оператор у2. тогда получим
где 'F -функция нагрузки.
-j-jirdr.
(131)
Уравнение (129) примет вид
D4-[-r-tr<r0>] =-*¦ <'32>
где угол наклона 0 определяют по формуле (118).
Граничные условия на контуре пластинки: при шарнирном опирании
ю^0;Л1, = "(_^+_?_.^)=0: (Ш)
при защемлении
и,- 0; 0 = 0. (134)
566 Изгиб и осесимметричное растяжение пластинок
Расчет кручлых пластинок
Круглая пластинка шарнирно оперта по контуру; нагрузка равномерно
распределена но всей площади. Прогиб на рассюинии г от центра [131:
)• <135>
ЕЧЛ
где Ь - радиус пластинки; D - J2JI v*j цилиндрическая жесткость; д -
интенсивность нагрузки; прогиб в центре (5 4-v)<?64
""""- 64(|-v)n • ('%)
Моменты
/и, = -1^ (3 + V) (Ьг - Г*); (137)
| tr (3 + v) - г1 (1 + 3v)]. (138)
Моменты в центре
(Mr)max - ..ах - Ф*- (139)
Отсюда получаем максимальное напряжение
(но,
где h - толщина пластинки.
Круглая пластинка защемлена по контуру, нагрузка распределена равномерно
по всей площади. Прогиб [13]
Ч
64 D 1
(62 - г2)2. (141)
Прогиб в центре
qb*
(142)
(143)
Mv - (1 + v) - rs (1 + 3v)J.
(144)
Круглые плистинки
567
Напряжения в цепт|"е
Or. и " я = П-4У<? ^ -g- ) . (145)
Напряжении у контура
'V.I, = -0,75<г (-^-) ; <%, " - v(J,,(1-16) Нижние волокна у контура
сжаты.
Круглая кольцевая пластинка, шарнирно опертая по внешнему контуру,
нагружена моментами Мга и МгЬ, равномерно распределен-
Рис- 20
иыми по внутреннему и внешнему контурам (рис- 20). Моменты h\ra и МТь
приходятся на единицу длины- Г1пу гиб [13|
и = С2 In -j- С3-
Угол наклона
dw - n_ cir . сг dF e
В выражениях (147) и (148) принято
Г - 2фгМгь -сРМ, а)
1 (1 -fv)- о*) •
Г = "2fc2 {Мгь - Мга)
4 (1 - V) Л (б2 - о8) ;
Сф* б2 {&МгЬ - °2 Мга)
4 2(1 + v)D(62 - cflj *
(147)
(148)
(149)
(150)
?/z3
где О = ^ ^Л - толщина пластинки.
568
Изгиб и осесимметричное растяжение пластинок.
