Прочность, устойчивость, колебания. Том 1 - Биргер И.А.
Скачать (прямая ссылка):
Предполагаем, что пластинка имеет плоскость симметрии; внешние нагрузки
(контурные и центробежные силы) и температурный нагрев зависят только от
радиуса; напряжения распределяются равномерно по толщине диска;
перпендикулярными к срединной плоскости диска
Осесимметричное растяжение пластинок
587
напряжениями можно пренебречь. Допущения справедливы при не очень резком
изменении толщины диска и для относительно тонких
дисков j .
Относительные деформации диска в радиальном и окружном направлениях (рис.
40)
du
tr = ~dT; <25°)
ч = -. (*>1)
где и - радиальное смешение точки на радиусе г.
Уравнения упругости. На основании закона Гука
Сг = -Jr (°> - vob) +
= -p-(oe - v"v) - а/.
(252)
(253)
где сг и Of, - радиальное и окружное напряжения; С - Е (г) - модуль
упругости; v - v (г) - коэффициент Пуассона; а = а (г) - коэффициент
линейного расширения материала; t- t (г) -температура пластинки на
радиусе г.
В другой форме
Е (du и \ Fat
- v2 \dr г )~ I - v '
Е- / и du \ Fat
5\Я" ("7" ~dr ) - T^~v"
(254)
(255)
588
Изгиб и осесимметричное растяжение плЬспшнок
Уравнения равновесия. Условия равновесия элемента пластинки (рис. 41):
"7Г ' {c'rh) - °Ь + Я(г)г = 0 (256)
или
(orh) - (ое - ог) q (г) h = 0. (257)
где q (г) - радиальная распределенная нагрузка на единицу объема.
Интегрированием выражения (256) и (257) в пределах от а до г. где а -
внутренний радиус, можно получить уравнение равновесия для круглой
пластинки в интегральной форме
(258)
(259)
В частном случае, когда пластинка представляет собой диск, нагрузка на
который вызывается действием собственных центробежных сил
q = роУ2г. (260)
где о - угловая скорость; р - плотность материала диска. Уравнение
совместности деформаций
^7 (ев') - (201)
н напряжениях это уравнение имеет вид
-^г(а,- vo")+a/= (°в - VO.+ a/)J г}. (262)
Осесимметричное растяжение пластинок
589
Уравнение совместности в интегральной форме г г
о, = vo, + ~ J ^ Цр, dr Eat + | (I + v) jai dr i
a a
1 tr; (°[)a ~ V*Ora j- ieaa^fl)i (263)
'l^a
где
l = exp
a
В случае v = const
и уравнение совместности (263) примет вид
0fi = vor -}- Е ^1+vV- j of dr ~ Eat +
+ ^ { rV°* dr + ?°rl .-V (°e" - v°ra + EaaJa) (264)
a a
В уравнениях (263) и (264) индекс а означает, что рассматривается
значение параметра для радиуса г - а.
Краевые условия. Обычно краевые условия для диска на внешнем контуре
относятся к радиальному напряжению
аг (Ь) - о,ь. (265)
где о,ь - заданное радиальное напряжение на внешнем контуре (обычно, от
действия центробежных сил лопаток).
На внутреннем контуре диска с отверстием краевое условие
о, (с) - ога, (266)
где сга - заданное радиальное напряжение. Если отсутствует посадка диска
па вал, то ога - О. При наличии прессовой посадки
ога = -р, (267)
где р - давление папрессовки в рабочем состоянии.
Для диска без центрального отверстия (сплошной диск) в центре Диска
радиальное и окружное напряжения будут
Or (0) = Ofi (0) (26b)
(условие осевой симметрии).
590 Изгиб и осесимметричное растяжение пластинок
Основное дифференциальное уравнение для радиального перемещения. Из
уравнений равновесия и соотношений упругости получается следующее
дифференциальное уравнение для радиального перемещения: d2u d " du . Г v
d d ( x \
+ Tr(,n H) n? + [--гг(ln m - ЗГ (v) -
- J ] u = F(r), (269)
rhE
r i _ V2;
. 1 d ( Ehat \
1 - V3
Q г
Краевые условия устанавливают в соответствии с равенствами (265)-(268) и
соотношениями (254) и (255).
Основная система дифференциальных уравнений для напряжений. Для решения
задачи "в напряжениях" используют уравнения равновесия и уравнения
совместности деформаций в напряжениях.
Преимущество решения задачи "в напряжениях" - более простой вид краевых
условий.
Точные решения
Точные решения уравнения (269) известны в сравнительно небольшом числе
случаев (7, II |. Ниже приведены наиболее важные точные решения, которые
используют также для построения приближенных решений с помощью разбивки
диска на участки.
Диск постоянной толщины (рис. 42). Основное дифференциальное уравнение
для диска с постоянными параметрами упругости
d2u 1 du _______________ d (ct<) I - v2
+ ^2-0 +'')-TL------- f* (270)
(271)
dr
имеет частные решения
Диск с центральным отверстием:
62 /, о2 \ а2 /, 62 \
М = "** -pzrssr [1 -72-) - (1 --W) +
Осесимметричное ристнжение пластинок
591
ЗН-у
аЧ2 1-J-3V г?- 3 , v
^<б>*г^('+-?Ье<'>-=Ф
0 (г) - j rat dr
^1УУ'УУУУ^.сп !i
Сплошной диск без центрального отверстия:
а, (г) = с,4 + -^ ^ (ко2 (б2 - с*) I- F. (О (6) - 6 (г)]:
щ (г) = с,(, + 3 д- рш2 (б2 - г2) +
+ ?[в(6)+в(л)-с/1
(-73)
(271)
(275)
(-76;
592
Изгиб и осесимметричное растяжение пластинок
где
г
в </¦) = -!- f rttldr. (277)
Г О
В центре диска
6(0) =-^г°(0) ((0).
Типичное распределение напряжений в диске постоянной толщины от действия
контурных нагрузок, центробежных сил и температуры показано на рис. 42.
Радиальное перемещение в диске
~тг [I_v +^-(1 +v)] +
+ ^ [<** + О") (1 - V, + ^ ,1 + V) - +
