Прочность, устойчивость, колебания. Том 1 - Биргер И.А.
Скачать (прямая ссылка):
+ 6<W бПГЗ-[,-'',т--?-(|+у)] + 0<r)(l+v)r. (278)
Формула (278) справедлива и для сплошного диска при а = 0. Диск
гиперболического профиля. Толщина диска на радиусе г (рис. 43, о)
h = -~, (279)
где тип - постоянные величины.
При п = 0 толщина диска постоянна; в большинстве практических задач п^>
0, что соответствие 43 вует уменьшению диска при уве-
личении радиуса.
Основное дифференциальное уравнение для диска с постоянными параметрами
упругости
d3n ,1 - п du 1 vn п (1 4- v)o/
d? + -;-w---------75- -т-"r
+ 0 + ')^-1*А^' <2в0)
Осесимметричное растяжение пластинок
593
Это уравнение имеет два частных решении
и, - г*'; иа = г*\ (281)
*"=-=-* V-f+i+(tm).
Произвольные постоянные в общем решении определяют из краевых
условий.
Диск конического профиля. Толщина профиля (рис. 43, б)
А(г)=Ц l--j0. (282)
Основное дифференциальное уравнение для диска с постоянными параметрами
упругости IРи
dr2 - a t
¦ ( 1 1 \йи Г v 1 1
¦W Rk-r)dr' L(R*-r)"-+ /* J""
" , v)(-r^Td=T) + ^la,(1 + v)1"
_"Ml_iv)_(Kil!fl_^_ (283)
Уравнение интегрируют с помощью гипергеометрических рядов ГЗ. 7, 10].
Диск составного профиля из ступицы и обода постоянной толщины и полотна в
виде диска конического профиля. Решение и таблицы для распета указаны в
работе [2].
Напряжения и деформации в дисках с произвольным изменением толщины
Методы расчета на прочность днекой переменной толщины применяют при
проектировании паровых и газовых гурбин, компрессоров и т. д.
Температурные напряжения в дисках, изменение параметров упругости вдоль
радиуса, учет пластичности и ползучести материала см в работах |1, 6, 9],
а также в более ранних работах [10]. Существует свыше 50 методов
определения напряжений в дисках. ЗЬн методы можно разделить на три
группы: аппроксимации, конечных разностей, интеграл ьные.
Методы аппроксимации. В этих методах реальный профиль диска
Аппроксимируют участками с другими законами изменения толщины. ДЛя
которых известно точное решение.
Аппроксимация участками постоянной тол-и н ы (рис. 44). Существует
большое число различных видоизменений Агого способа, отличающихся
алгоритмом расчета (методы Доната,
594
Изгиб и осесимметричное растяжение пластинок
Граммеля, Яновского и др.). Наиболее употребителен способ, идея которого
близка к методу начальных параметров
На основании решения для диска постоянной толщины с постоянными
параметрами упругости, напряжения н конце i-го участка и напряжения на
его внутреннем радиусе связаны соотношением
°г. i И = °*r, iAi + п9, ! О Л) [О - Л) аЛ
-е,+1]-рнЛ?+,^; (284)
/4-1 = °r, i С1 " Л) ~
4 ар iAi ~ Et [Aiaiti -| в, t -
1- ai +1*1+1 ] +1^/"(285)
*7 'j' где
-л 1 А,~ 4" [' + (4777) ];
Рис. 44
(286)
ri+1
rat dr -- (r/+lai+Ifi+I + ria.iti) (rUl - rt). (289) ^i+i
Так как на i-м радиусе происходит скачок толщины, то напряжения в конце i
- 1 участка аг, / и ар, г связаны с напряжениями в начале i-ro участка
следующими зависимостями:
i = VV.iH ТГ^(се. 1°., ,)¦ (29')
Для удовлетворения краевых условий применяют метод двух расчетов. В
первом расчете задаются на начальном радиусе произвольным значением
окружного напряжения ое0 (i = 0). Значение радиального напряжения на
начальном радиусе или известно (диск с отверстием) или сгЬ = Ср0
(сплошной диск).
По формулам (284)-(291) от участка к участку находят напряжения на
внешнем радиусе. Так как радиальное напряжение на ободе при пер-
Осесимметричное растяжение пластинок
595
дом расчете не будет равно заданному значению, то проводят нторой насчет,
при котором центробежные силы и нагрев считают отсутству кяцими [в
формулах (284) и (285) учитывают дна первых члена]. Напря жения второго
расчета умножают на коэффициент k, который определяют из равенства
-й' -=<W (292)
Окончательные напряжения в диске являются суммой напряжений первого и
второго расчета (последние умножают на k). Если требуется раздельное
определение напряжений от центробежных сил и температурных напряжений, то
первый расчет выполняют дважды.
Математическое обоснование метода двух расчетов состоит в следующем.
Напряжения первого расчета связаны с частным решением неоднородного
дифференциального уравнения диска, напряжения второго расчета - с
решением однородного уравнения.
Аппроксимация участками дисков гиперболического или конического профиля.
Используют равенства, подобные (284) н (285). но основанные на точных
решениях для дисков гиперболического или конического профиля. Так как
соответствующие аналитические выражения весьма громоздки, то для
практических расчетов составлены специальные графики.
Подобные графики были приведены в работах Черного и Бакланова, Риса, Ту
Маркина [141; в последнее время они составлены заново [12].
Аппроксимация участками гиперболического илн конического профиля не
требует использования формул (290) и (291), так как сопряжение участков
проводится плавно, без скачков.
Методы конечных разностей, В этих методах, впервые указанных для расчета
дисков А. Стодолой, дифференциальные уравнения равновесия и совместности
