Вариационные принципы в теории теплообмена - Био М.
Скачать (прямая ссылка):
т X Л
Поверхностное интегрирование проводится по границе А объема т, а п обозначает единичную внешнюю нормаль к границе. Поскольку J определяется уравнением
(8.2.3), мы можем записать:
j jj J grad 50 dz = W, (8.2.8)
T
где
D=^ni^(grad6)2rfT' (8'2-9)
T
По своему физическому смыслу это выражение эквивалентно диссипативной функции (1.4.3). С учетом соотношения (8.2.8) получим уравнение (8.2.7) в виде
JJ J cUbdz-\-W = — jj J n bbdA, (8.2.10
i A
которое является дополнительной формой вариационного принципа для теплопроводности.
Важно остановиться здесь на значении вариационного уравнения (8.2.10). Величину J в правой части уравнения можно положить равной —&grad0 на границе. Тепловой поток J-n на границе можно также считать заданной функцией времени и координат. При этом вариационный принцип (8.2.10) может быть приведен к дополнительной форме. Это станет яснее, если проинтегрировать бD по частям:
6D= — ^ J div (k grad 0) 60 dz (k grad 0)n60 dA.
* A
(8.2.1!)
170
Подставив это значение, получим уравнение (8.2.10) в виде
Поскольку 60 выбрано произвольно, это уравнение означает, что
удовлетворяется на границе.
Следовательно, когда задается тепловой поток на границе Jn, дополнительный вариационный принцип (8.2.10) приближенно удовлетворяет граничному условию (8.2.14) и классическому уравнению теплопроводности. Очевидно, что уравнение (8.2.4) является уравнением сохранения энергии, поскольку оно совпадает с соотношением (8.2.4), если в него вместо J подставить уравнение (8.2.3).
Вариационный принцип, немного напоминающий вариационный принцип в форме уравнения (8.2.10), предложен также Чемберсом {Л. 8-2]. Он находится из рассмотрения функционала
1 С
ма за единицу времени; изменяемой переменной здесь является Ж Вариационный принцип выражается в том, что для всех произволь ных изменений X бF полагается равным нулю.
Еще один метод, предложенный Розеном i[JI. 8-3], получается из рассмотрения функционала
изменениям. При этих ограничениях вариационный принцип выражается в виде 6Ф = 0
? j j {с0 — div (k grad 0)} S0 di =
X
— jj {J-n-|-/fe(grad 0)n} S0dA (8.2.12)
A
c0 = div (k grad 0) справедливо в объеме т и что условие J п = —k (grad 0)n
(8.2.13)
(8.2.14)
(8.2.14а)
где ^"=8 и w — количество теплоты, образующееся в единице ооъе-
(8.2.146)
где переменная 0 изменяется внутри объема, а У = 0 не подвержено
Модификация этого метода, предложенная Пригожиным и Глансдорфом, применялась для теплообмена Хейсом [Л. 8-4]. Вариационный принцип получается, если положить 6'F=0, где — интеграл по времени от Ф:
Величина 0 изменяется, если предположить, что она является заданной функцией времени и координат, а также какого-то числа постоянных параметров, рассчитанных с помощью вариационного принципа. Этот метод может применяться к нелинейным задачам, где k и с зависят от температуры при условии, что эти величины не подвержены варьированию. Заметим, что если 0 является линейной функцией параметров, этот метод полностью аналогичен методу Га-леркина, на чем мы остановимся позднее в приложении (§ А.4).
В соответствии с методом, описанным в гл. 1, вариационный принцип (8.2.10) также приводит к дифференциальным уравнениям, аналогичным уравнениям Лагранжа с обобщенными координатами. Это легко показать, выразив неизвестное температурное поле в виде
где cji—п неизвестных функций времени, представляющих обобщенные координаты.
Как уже указывалось в § 1.3, введение обобщенных координат не ограничивает общности анализа. Поскольку вещество имеет дискретный характер, всегда можно найти конечное, но достаточно большое число обобщенных координат для описания поля 0 с достаточной точностью (§ А.4).
Вариации 60 зависят только от вариаций 6 qi. Следовательно, из уравнения (8.2.15) получим:
Из того же уравнения (8.2.15) можно получить:
ных точках х, у, г. Из уравнения (8.2.17) получим:
(8.2.14b)
0 = 0(<7ь qz, ¦qn, х, у, z, t), (8.2.15)
(8.2.16)
dt '
(8.2.17)
где 0 — полная производная по времени от 0 в задан-
ие _<Л
dq~>
(8.2.18)
172
Следовательно, вариацию (8.2.16) можно записать также в виде
Подставив уравнения (8.2.16), (8.2.19) и (8.2.20; в вариационное уравнение (8.2.10), получим:
Поскольку 6<7г выбрана произвольно, получим п уравнений
Систему п дифференциальных уравнений. (8.2.22) для л неизвестных функций времени можно рассматривать как дополнительную форму уравнений Лагранжа.
Рассмотрим случай линейного представления температурного поля с помощью обобщенных координат. Запишем *
* Заметим, что если температура задается на границе, мы ми-
ни, если значения заданы на границе, a 0j на границе равна нулю. При этом Т и D — полиномы второй степени соответственно по qt и qt, а Рг = 0.
(8.2.19)
Наконец, вариация D будет:
(8.2.20)
J ¦ п dAbq{.
(8.2 21)
(8.2.22)
где
Pi=~\\J'n^dA- (8-2-23)
6= ? qA{x, у, г),
(8.2.24)
жем записать 9=2<7i9i + 9b. где 0Ь — функция координат и време
173
где 0j—заданные скалярные поля, не зависящие от температуры. При этом значения Г и Л по определению (8.2.23) и (8.2.9) являются квадратичными формами
