Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Био М. -> "Вариационные принципы в теории теплообмена " -> 48

Вариационные принципы в теории теплообмена - Био М.

Био М. Вариационные принципы в теории теплообмена — М.: Энергия , 1975. — 209 c.
Скачать (прямая ссылка): varicionnieprincipivteoriiteploobmena1975.pdf
Предыдущая << 1 .. 42 43 44 45 46 47 < 48 > 49 50 51 52 53 54 .. 61 >> Следующая

*0
Распределение температуры в перегородке имеет вид:
9'(*)-е (*)=-^-//(*)¦ (7.7.9)
где а — толщина перегородки, a ?s — теплопроводность.
Объединив соотношения (7.7.7) — (7.7.9), получим:
х,
9'а (*) - (х) = j Я(х, a H(l)dZ+ (х), (7.7.10)
*0
где
Л(*. 6)=r'(g-*, g)+r,(*-6, I). (7.7.11)
Уравнение (7,7.10) является интегральным уравнением для неизвестного распределения плотности теплового потока Н(х). Его можно решить численно методами стандартного программирования. В большинстве случаев температура 0'а—0О не зависит от х.
Для полностью развитого течения в канале, не зависящего от
условий на входе, можно принять параллельные линии тока; тогда
выражение (7.7.111) примет вид:
R(x-l) =г'Ц-х)+г(х-%), (7.7.12)
где г'(1—х) и г(х—1) —функции влияния для двух жидкостей.
Глава восьмая
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
8.1. ВВЕДЕНИЕ
В механике деформирующихся систем вариационные принципы могут быть выражены двумя способами. В одном из них переменные, подвергающиеся варьированию, являются смещениями и выбираются таким образом, чтобы удовлетворялись условия непрерывности. Вариационный принцип, сформулированный с помощью чтих смещений, выражает равновесие сил.
167
В другой форме, известной под названием дополнительной, переменными являются силы, которые варьируются; они выбираются таким образом, чтобы удовлетворить условиям равновесия. Дополнительный вариационный принцип, сформулированный в виде этих сил, выражает непрерывность смещения.
В предыдущих главах рассматривались вариационные принципы в теплообмене, которые мы назвали основными. Они формулируются с помощью варьирования теплового смещения, выбранного таким образом, чтобы не нарушался закон сохранения энергии. Это приводит к автоматическому выполнению уравнения непрерывности и позволяет выразить изменение теплового смещения с температурой в вариационной форме.
По аналогии с механикой можно предположить существование дополнительной формы вариационных принципов и в теплообмене. Поскольку температура играет роль силы, необходимо варьировать температурное поле и выразить в вариационной форме условие непрерывности теплового потока, которое в данном случае является также законом сохранения энергии. В дальнейшем при обсуждении дополнительных принципов будет использован материал, опубликованный автором в его работе [Л. 8-1].
В § 8.2 дополнительные принципы рассматриваются применительно к линейным системам. Показано, что если сформулировать их с помощью обобщенных координат, получим уравнения типа Лагранжа в дополнительной форме. Можно сформулировать также принцип взаимовлияния, использующийся в методике «конечных элементов», который, как указывается, применим в общем случае нелинейной системы и при изучении конвекции. В § 8.3 обсуждается операционная формулировка вариационного принципа в дополнительной форме применительно к результатам гл. 3. Нелинейные системы со свойствами, зависящими от температуры, как стационарные, так и конвективные, обсуждаются в § 8.4 и 8.5.
Следует сказать несколько слов о точности вариационного принципа в дополнительной форме. „Поскольку он требует пространственного дифференцирования температурного поля, при использовании одного и того же приближенного выражения температурного поля вариационные принципы в дополнительной форме дают менее точные результаты по сравнению с основными вариа-
168
ционнымп принципами, использующими тепловые смещения.
Также следует отметить, что существование двух форм для выражения вариационных принципов является весьма общим свойством физических систем, описываемых интенсивными и экстенсивными переменными. Поэтому этот метод может широко применяться во многих областях физики.
8.2. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
Рассмотрим теплопроводность в среде, свойства которой не зависят от температуры 0. Удельная объемная теплоемкость такой системы является функцией координат
с = с(х, у, 2). (8.2.1)
Будем считать теплопроводность системы изотроп-
ной, являющейся функцией координат
k = k(x, у, z, I). (8.2.2)
Закон теплопроводности имеет вид:
J = — & grad 0, (8.2.3)
а закон сохранения энергии выражается уравнением
dj = — div J. (8.2.4)
Метод, используемый в § 1.2, означает, что уравнение сохранения (8.2.4) тождественно удовлетворяется, если положить:
?0 — — div Н; J = H. (8.2.5).
При этом закон теплопроводности (8.2.3) приближенно удовлетворяется вариационным принципом при варьировании бН.
Это приводит к необходимости использования дополнительного метода, где J определяется уравнением
(8.2.3) с помощью скалярного поля 0. Уравнение сохранения энергии (8.2.4) выполняется приближенно с помощью вариационного принципа, использующего вариации температурного поля 60. Поэтому, умножит
169
уравнение (8.2.4) на 60 и проинтегрировав результат по объему т тепловой системы, получим:
JJJ(c6 + div J) 56^ = 0. (8.2.6)
X
При произвольных вариациях 60 уравнение эквивалентно уравнению (8.2.4) в смысле слабых решений. Интегрируя по частям (8.2.6), получаем:
J ( j C05G dz— j j j J grad 66 dz + j f J • n 80 dA = 0. (8.2.7)
Предыдущая << 1 .. 42 43 44 45 46 47 < 48 > 49 50 51 52 53 54 .. 61 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed