Вариационные принципы в теории теплообмена - Био М.
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 7.4. График Р(т|'). Штриховой линией показана линейная аппроксимация (7.6.10).
тельности, если не считать предельных случаев. Профиль скорости для турбулентного пограничного слоя можно выразить в виде
u = Uf( т]); = (7.6.7)
где б и U определяются уравнениями (7.6.1) и (7.6.2). При использовании общего метода, описанного в § 7.4, необходимо проинтегрировать уравнение (7.4.36). Для этого надо знать функцию а(т]), зависящую от распределения коэффициентов молекулярной и турбулентной диффузии в пограничном слое. С этой целью используем представления Ранни для этой функции [Л. 7-6]:
о (7i) = 6,67] при т] >2; i (7 6 8)
о (7]) = 1 -)- sh2 7) при т] <¦ 2, (
при этом число Прандтля принимается близким к единице. Важно обратить внимание на общее поведение функции а(т]), поскольку на результаты, полученные ниже, не влияют неточности представления этой функции. Заметим, что значение т), для которого оба значения ст(г)) из (7.6.8) равны, несколько меньше двух. Используя стандартное приближение для турбулентного профиля скорости ф(г)) и приближенное значение cr(ri) из (7.6.8), получим переменную г\' и функцию Р(т)') по выражениям {7.4-35) и (7,4.37) из общей теории. Типичный график функции Р(т/) предъявлен на рис. 7.4. 11—1050 161
Кривую можно в общем виде аппроксимировать двумя прямыми
?(У) = У при V<Uj (7_б_9^
Р(т]')=1 до оо при Y = L )
Поскольку при т]/<! 1, вместо этой аппрокси-
мации можно записать:
ЙМ = Ч при •,<!;] (76 Ю)
Р (tj) = 1 ДО оо при т] = 1. J
Следовательно, при расчете функции влияния мы опять различаем две фазы, в которых т) меньше или больше 1.
В первой фазе, где т]-<1, дифференциальное уравне-ние (7.4.36) имеет вид:
(90 д20' (не. 11 v
4*-=^- (7-6.11)
Это эквивалентно первому из уравнений (7.5.3). Следовательно, в первой фазе функция влияния равна ее значению по уравнению (7.5.7) для ламинарного пограничного слоя с линейным профилем скорости. Эта приведенная функция влияния имеет вид:
2
на
Ф(т) = 0,514т 3. (7.6.12)
В конце первой фазы глубина проникновения равна q=т]=1. Найдем из табл. 7.1 соответствующее значение т:
tf = 0,0606. (7.6.13)
Начало второй фазы соответствует т>тt- В этой точке влияние турбулентной диффузии начинает сказываться на общей картине течения. Поэтому мы будем называть точку x=t< точкой перехода турбулентности.
Во второй фазе необходимо решить уравнение
0-, ч дв д!в ,п - .
М) W = (7-6Л4)
где значения р (г|) взяты из (7.6.10). Очевидно, что это эквивалентно решению уравнения (7.6.11) с граничным условием
0 = 0 при т| = 1. (7.6.15)
Распределение температуры в области т)-<1 в конце первой фазы и во второй фазе можно получить, поло-
162
жив в уравнении (7.4.13) <7=1:
0 = 0о(1— л3)- (7.6.16)
Это выражение удовлетворяет необходимому граничному условию (7.6.15). Значение 0о является функцией т, и мы получим его, применив в уравнении (7.6.14) вариационный метод, использовав кубическое приближение
(7.6.16). С точки зрения аналогии теплопроводности вторая фаза представляет утечку тепла из области в соседнюю область с бесконечной удельной теплоемкостью.
Подставив в выражение (7.14) для теплового потенциала значения 0 и |3(т])=7] из (7.6.16), получим:
1
y = = (7.6.17)
О
Для адиабатического условия Н=0 при г] = 0 можно записать:
7)
я = — | h dfi = — f^TI2--------g- 0O> (7.6.18)
О
откуда получим диссипативную функцию
1
В = ±^НЩ==-^К (7.6.19)
о
Точка обозначает производную по т. Переменная 0о является неизвестной обобщенной координатой, удовлетворяющей уравнению Лагранжа
^+4^- = 0. (7.6.20)
tfOo дв, '
Используя выражения (7.6.17) и (7.6.19), получаем из (7.6.20) дифференциальное уравнение
550о —1— 70о — 0, (7.6.21)
которое необходимо решить с начальным условием равенства 0О его , значению в конце первой фазы, которое получается при подстановке т=т* в выражение (7.6.12) :
0О=3,33 Но. (7.6.22)
11* 163
Соответствующим решением уравнения (7.6.21) будет:
G0 = 3,33tf0expj~^- (x-xt)J. (7.6.23)
Из уравнений (7.6.12) и (7.6.23) можно сделать вывод, что приведенную функцию влияния для первой и второй фаз можно представить кусочно-аналитической
аштоксимациеи
2
Ф(х) = 0,514х 3 при т < х(;
55
Ф(т) = 3,33ехр |------^-(х —xt)| при T>xt,
(7.6.24)
где Г; = 0,0606. Эта приведенная функция влияния графически представлена на рис. 7.5. В отличие от функции Влияния (7.5.9) для ламинарного течения, которая также представлена графически для сравнения, она убывает гораздо быстрее, начиная от точки поступления тепла. Действительно, за точкой т = 0,6 ее можно считать равной нулю, поэтому можно положить Ф(т)=0. Приближенная функция влияния (7.6.24), полученная при модификации общего метода, описанного в § 7.4, основана на стандартном физическом описании турбулентного пограничного слоя. Она должна давать удовлетворительные результаты в первом приближении при расчете конвективного теплообмена в турбулентном пограничном слое во многих практических задачах. Этот метод можно при необходимости усовершенствовать, как показано выше.
Рис. 7.5. Приведенная функция влияния Ф(т).
