Вариационные принципы в теории теплообмена - Био М.
Скачать (прямая ссылка):
ч ч
Т = -\-'^Ог^т D = ~^bijqiqj, (8.2.25>
где
<ki = J ) J cbibj dz\ Ьц = JJjA (grad 6г ) (grad 0j) dz.
г "t
(8.2.26)
Кроме того,
Рг = — JJ J-n0,-di4. (8.2.27)
Уравнения Лагранжа (8.2.22) примут вид:
(8.2.28)
Они являются дополнительной формой линейных уравнений (2.3.14). Когда тепловой поток J задается на границе, значения Pi являются известными функциями времени, играющими роль «движущих сил».
Вариационный принцип (8.2.10) легко обобщить на случай анизотропной теплопроводности
kij = kji—kij(x, у, z, t), (8.2.29)
включая случай тепловыделения внутри тела с удельной объемной скоростью
w=w(x, у, z, t). (8.2.30)
При этом вместо вариационного уравнения (8.2.10) используется уравнение
j[J(c6 —ш)80* + 81> = — f ( J ¦ п 80 dA, (8.2.31)
z ' А
где D определяется в виде
(8'2'32>
Как и ранее, координаты х, у, z обозначаются через. Х{. При таком определении D уравнения Лагранжа
174
(8.2.22) остаются справедливыми. Кроме того, при наличии источников тепла значение Рп определяется теперь выражением
= " ^Л4+Я!Ш57»*' (8.2.33)
А 1
а-не (8.2.27). При заданных источниках тепла и тепловом потоке на границе величина Ph играет роль движущих сил в уравнениях Лагранжа.
Принцип взаимовлияния и метод конечных элементов. В § 3.7 рассмотрен принцип взаимовлияния, согласно которому систему можно разделить на ряд конечных элементов, которые затем рассматриваются как взаимосвязанные подсистемы. Этот же метод можно применить, к вариационному принципу в дополнительной форме*.
Для упрощения без потери общности можно рассмотреть случай анизотропной теплопроводности при отсутствии источников тепла. Разделим систему на ряд взаимосвязанных областей, обозначенных символом s. В каждой области s температурное поле аппроксимируется таким образом, что эти температуры совпадают на смежных границах. Вариационный принцип (8.2.10) для системы в целом можно записать в виде суммы уравнений для каждой области
S 5 5
2 j J J <4 50* dxa + % Ws = — 2 j j J*¦ ns 50s dA,. (8.2.34)
A.
Правая часть этого уравнения выражает основное свойство принципа взаимовлияния. Общие границы входят в сумму 2 раза, а соответственные члены взаимно сокращаются. Это можно заметить из рассмотрения двух соседних подсистем s и (s + 1). На общей границе тепловые потоки Js и /s-и равны, так же как и температуры
0S и 0s+i. Однако ns и ns+i противоположны по направлению (ns = —n5+i). Следовательно, члены, соответству-
* Обратите внимание на различие между этой формулировкой и дополнительным принципом для конечных элементов и линейных систем, сформулированным в § 3.7.
175
ющие смежным границам, сокращаются, и мы можем написать:
2 j J j • ПMsdAs = J [ J • п 59 dB, (8.2.35)
А. 's1
где В — внешняя граница всей системы.
При использовании вариационного принципа (8.2.34) обобщенные координаты можно разделить на две группы: координаты одной группы определяют температуру на границах подсистемы; координаты другой группы определяют температуру каждой подсистемы. В результате получаем уравнения Лагранжа, в которые входит тепловой поток J только на границе В системы в целом. Следует отметить, что при использовании этого метода .нет необходимости соблюдать условие неразрывности ,&gra<3 0 в направлении, нормальном к границам подобластей. Например, в двумерной задаче систему можно разделить на конечные элементы треугольной сетки, и некоторые обобщенные координаты будут температурами в вершинах треугольника.
Метод, который описывается здесь для частного случая, имеет, конечно, общий характер и может применяться для анизотропной теплопроводности при наличии источников тепла, а также для нелинейных и конвективных систем, описанных в § 8.4 и 8.5.
Диссипация на границе. Когда задается температура на границе твердого тела, вариация 60 на границе исчезает. При этом выражение (8.2.33) для Рк принимает вид:
Рк= aL’~<^r dt’ (8.2.35а)
где Pk зависит только от источников тепла. То же самое относится -к случаю, когда температура задается на одних участках границы, тогда как другие участки теплоизолированы. Аналогичный по форме случай получается, если теплообмен на границе выражается коэффициентом теплообмена К. При этом граничное условие выражается уравнением (2.2.1), которое можно записать в виде
J.n = K(0—0а), (8.2.356)
где 0а — адиабатическая температура поверхности. Если подставить «то значение J-n в выражение (8.2.33) для Рк, последнее примет вид:
р,ь = -т-^Г j J ¦«(0 - 9“>2 dA + j j j’ш dx- (8-2-35р)
А х
176
В результате получаем уравнения Лагранжа, аналогичные уравнениям (8.2.22)
it+J^r=p'- (8-2-36с)
При этом, однако, Рк определяется теперь выражением (8.2.35а), a D — уравнением
°-т И.' Е *"¦*"+ "гИ *<е - **'¦лл-
х А
(8.2.35Д)
Физический смысл этой диссипативной функции совпадает с физическим смыслом выражения (8.2.12), куда входит диссипация на границе.
8.3. ОПЕРАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
Как уже рассматривалось в гл. 3, класс задач, включающий операторы по времени, можно легко сформулировать в операционной форме, используя простые операционные правила. Одно из них выражается в виде
