Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Био М. -> "Вариационные принципы в теории теплообмена " -> 51

Вариационные принципы в теории теплообмена - Био М.

Био М. Вариационные принципы в теории теплообмена — М.: Энергия , 1975. — 209 c.
Скачать (прямая ссылка): varicionnieprincipivteoriiteploobmena1975.pdf
Предыдущая << 1 .. 45 46 47 48 49 50 < 51 > 52 53 54 55 56 57 .. 61 >> Следующая

р/(0=т* (8-зл)
где р— оператор, который является символическим выражением производной d/dt. Будем считать, что функция f(t) равна нулю при отрицательных значениях /, а при t = 0 она может иметь разрыв. Смысл операционного уравнения (8.3.1) состоит в том, что оно остается справедливым, если f(t) и df/dt заменить их преобразованиями Лапласа. Символ р представляет переменную преобразования Лапласа. Как уже указывалось в гл. 3, для применения этого правила необходимо использование обобщенных функций, допускающих разрывы непрерывности функции f(t). Используя такую символику, можно легко применить преобразования Лапласа к уравнениям, в которые входят операторы по времени.
Используя операционные символы и следуя методу, описанному в § 3.6, можно получить операторно-вариационные принципы в дополнительной форме. При этом необходимо допустить, что тепловая система линейна и ее свойства не зависят от времени. С этой точки зрения мы рассмотрим наиболее общий случай, когда анизотропная теплопроводность кц(х, у, z) и теплоемкость
J2-J050 177
с (х, у, z) зависят от координат. Кроме того, имеются зависящие от координат и времени распределенные источники тепла с плотностью w (х, у, z, t).
Запишем в операционной форме законы теплопроводности и сохранения энергии
При выводе вариационного принципа мы исходили из того, что р — алгебраическая величина. Умножим второе уравнение (8.3.2) на 69 и проинтегрируем по объему т. Интегрируя по частям, получаем:
Единичную внешнюю нормаль к границе А объема т обозначим через Подставим в интеграл по объему значения
Уравнение (8.3.4) является дополнительной формой операторно-вариационного принципа (3.6.6). Оно имеет тот же физический смысл, что и уравнение (8.2.10). При его использовании приближенно соблюдается условие сохранения энергии в объеме т.
1
(8-3-2)
(И! в - ? 1, gj; 8в 1А = - J] J,n, 59<М-|-
А
(8.3.3)
/
и получим вариационный принцип в виде
pbV ш = — 50 dA -j-| w 80 di, (8.3.4)
где
(8.3.5)
a
178
Математический смысл операционного уравнения
(8.3.4) заключается в том, что переменные 0, Jt и w могут быть заменены их преобразованиями Лапласа. Например, вместо 0 можно использовать преобразование Лапласа
t
?(&)= (*')#'. (8.3.6)
о
Нам действительно нет необходимости вводить символ <?? в явном виде для того, чтобы переменные рассматривались либо как функции времени, либо как функции, преобразованные по Лапласу. Как уже указывалось в § 3.6, мы имеем весьма общую и гибкую символику, позволяющую сформулировать операторно-вариационный принцип тремя способами, как это следует из уравнения (8.3.4).
Операционную формулировку получим, представив 0 в виде *
i
0=2 (¦*’ У' (8.з.7)
Использовав значения из уравнений (8.3.5) и (8.3.7), получим:
Ч Ч
V = 4- ^ сцтяъ о = ~ ^ buqiqj. (8.3.8)
Из вариационного уравнения (8.3.4) получим уравнения
?-{pV + D) = Pit (8.3.9)
где
к
Pi = ¦“ Я 2 J^dA+ j j j wbi d*. (8.3.10)
A t
Подставив в это уравнение значения из (8.3.8), найдем:
I
2 (РаИ “Н hi) qj — Рi• (8.3.11)
* См. также сноску на стр. 173 к уравнению (8.2J24). При этом выражения для V и D являются полиномами второй степени по qi.
12* 179
Если переменные являются функциями времени, тогда, положив p = d/dt, получим уравнения (8.2.28), выведенные ранее для частного случая изотропной теплопроводности при отсутствии источников тепла.
Вторая формулировка этого принципа получается, если применить вариационное уравнение (8.3.4) к изображениям по Лапласу. В этом случае варьированию подвергается 0(х, у, z, р), где р — алгебраический параметр. Величины /идо также являются функциями р. При этом вариационный принцип можно применить для целого ряда постоянных значений р.
Третья формулировка получается в виде свертки. Она основана на том, что операционное произведение двух преобразований Лапласа соответствует свертке. Например, в выражении
pV = -^- Jjj cPb*dz (8.3.12)
мы можем записать
t
(/70)0 = — t')b{t')dt'. (8.3.13)
о
Аналогично другие произведения переменных в уравнениях (8.3.4) можно заменить сверткой. В результате получим формулировку вариационного принципа в виде функций времени.
Обобщенный вариационный метод. Операционная формулировка вариационных принципов, представленная здесь и в гл. 3, является частным случаем общего метода, который применим к задачам, описывающимся дифференциальными уравнениями типа
(
^\(р)аМг (**)f = °. (8.3.13а)
где f — функция переменной tun переменных х^. Будем считать (хь.) линейными самосопряженными операторами xh, а (р) — изображение функции :по переменной t и независимой от t. Считая р алгебраической величиной, легко получить вариационные принципы как следствие свойств самосопряженности &#*(хь). Этот метод может также применяться для случая, когда уравнение (8.3.13а) является матричным.
180
8.4. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ
Рассмотрим систему, параметры которой зависят от температуры 0. Запишем закон теплопроводности в виде
<8'4Л)
а уравнение сохранения энергии
сЬ ¦-
<8-4-2>
Теплоемкость может быть функцией координат и температуры
Предыдущая << 1 .. 45 46 47 48 49 50 < 51 > 52 53 54 55 56 57 .. 61 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed