Вариационные принципы в теории теплообмена - Био М.
Скачать (прямая ссылка):
Применению вариационных принципов в теплообмене предшествовала длительная разработка общего метода Лагранжа в указанных областях. Возможность такого применения была создана после использования этого общего метода в фундаментальной термодинамике и, в частности, для исследования термоупругости. Теория термоупругости Лагранжа, основанная на термодинамике необратимых процессов, опубликована автором в 1956 г. в работе ([Л. А-3]. Полученные там соотношения взаимности и их применение в структурном анализе обсуждаются в работах (Л. А-4, А-5]. Подробное рассмотрение термоупругости с точки зрения метода Лагранжа приведено в недавно опубликованной работе Рафальского [Л. А-6].
Ниже в качестве иллюстрации более общего термодинамического подхода будет приведена задача термоупругости, а также краткое описание применения методов Лагранжа в динамике вязких сред, вязкоупругих и пористых сред и в электродинамике.
Термоупругость. Рассмотрим анизотропную упругую среду, находящуюся в механическом н термодинамическом равновесии при равномерной абсолютной начальной температуре Тг. Небольшое возмущение этого разновесия определяется полем смещения и,- твердо-
192
го тела и температурным полем 0, представляющим отклонение от начального значения Тг. В декартовых координатах xt температу-1
ра 0, деформация ец = -^ (datidXj + ditj/dXi) и напряжение связаны следующими уравнениями:
ч
=Sc^«-i
и
(А.3.1)
где
(J.V
и С,1,
-физические константы. Последняя представляет изотермический модуль упругости, состоящий из 21 компоненты. Эти константы удовлетворяют системе уравнений:
(А.3.2)
В • Сч
rv|i>
. гп _ ГЧ [jlv u V|J.-
Следующее соотношение получается из классической термодинамики
Ч
с8 сЧ
s = ¦-j. Н у (А.3.3)
г ш
где 5 — приращение энтропии в единице объема, а с — удельная теплоемкость в единице объема при отсутствии деформации. Разрешив уравнение (А.3.3) относительно 0 из (А.3.1), получим:
|iv ¦
ч
Е(‘
OAV1
(А. 3.4)
Эти соотношения дают следующий важный результат. Рассмотрим квадратичный инвариант
-у
6s.
(А.3.5)
После подстановки выражений Оц и 0 из (А.3.4) будем иметь функцию независимых переменных ец и s. Поскольку матрица коэффициентов в уравнениях (А.3.4) симметрична, можно записать:
ди dv
0=^Г- (А-3-6)
В частных производных переменные eij рассматриваются как девять независимых переменных. Объемный интеграл
МИ”
di
(А.3.7)
вводится автором в качестве потенциала термоупругости. Поэтому инвариант v является удельным объемным потенциалом термоупругости.
13—1050
193
Инвариант v можно выразить также с помощью независимых переменных и 0 в виде
Ч и»
Для изотермических деформаций (0=0) 'потенциал V сводится к потенциалу VT, представляющему собой классическую свободную энергию системы, эквивалентную хорошо известной энергии деформации в теории упругости.
Как показано автором, потенциал термоупругости V есть частный случай более общего термодинамического потенциала для систем с неравномерно распределенной температурой, совпадающего со свободной энергией, если температура среды равномерна.
Введем вектор смещения энтропии в виде
где Hi — тепловое смещение. Используя 5,-, получаем плотность энтропии 5 в виде
Для системы, которая не находится в термодинамическом и механическом равновесии, мы должны ввести уравнение движения
В этих уравнениях р — плотность массы, а кц — теплопроводность. Перепишем уравнение (А.3.14) в эквивалентной форме
(А.3.8)
Для области -с запишем:
(А.3.9)
где
«/ ци
(А.3.10)
(А.3.11)
Следовательно, можно переписать уравнение (А.3.3) как * Ч
(А.3.12)
(А.3.13)
а уравнение теплопроводности
(А.3.14)
где тепловое сопротивление Хг;- определяется обратной матрицей В качестве неизвестных переменных, описывающих физическую систему, возьмем Ui и Si. Тогда выражение (А.3.7) для V будет также функцией этих переменных, если подставить в него величины ац, s и 0 из уравнений (А.3.4), (А.3.11) и (А.3.12). Вариационный принцип имеет вид:
В этом уравнении би; и 6S,—произвольные вариации, — сила на единицу площади поверхности, приложенная на границе А объема I, a»i — внешняя единичная нормаль к границе.
Вариационный принцип (А.3,16) получаем следующим образом. Вариация потенциала тер моупр угости (А.3.7) будет иметь вид:
a s дается выражением (А.3.11). Интегрируя по частям (А.3.21) и подставляя результат в вариационный принцип (А.3.16), получаем:
(А.3.23)
Это соотношение справедливо для всех вариаций и 65,-, если удовлетворяются уравнения движения (А.3.13) и уравнение тепло-
Иг SUidl + Тт Ш2 hijSjdSidt —
А
(А.3.16)
(А.3.17)
где
Подставив в это уравнение выражение (А.3.6), получим: <7
Тогда уравнение (А.3.18) можно записать в виде 1/
и вариация SV будет:
(А.3.21)
Деформация определяется в виде
(А.3.22)
13*
195
проводности (А.3.16). Следовательно, вариационный принцип (А.3.16) есть не что иное, как другая форма этих уравнений.
Вывод уравнений Лагранжа из вариационного принципа (А.3.16) проводится следующим образом. Выразим неизвестные переменные Ui и St с помощью обобщенных координат qu q2, . .qn в виде
