Вариационные принципы в теории теплообмена - Био М.
Скачать (прямая ссылка):
153
Функцию влияния для непараллельных линий тока можно получить, применив вариационный анализ к уравнению (7.2.17). Коэффициент kJja в этом уравнении будет зависеть как от у', так и от х, что приводит к анализу, отличающемуся от описанного метода для параллельных линий тока. Однако последний еще может использоваться, если допустить, что основной процесс теплообмена ограничен достаточно узкой областью вниз по течению от точки подвода тепла. В этом случае можно считать, что в этой области ik' и а почти не зависят от х, так что мы можем положить а = 1
к'(х, У')=к'{у'). (7.4.38)
Следовательно, уравнение (7.2.17) тождественно уравнению (7.4.32) для параллельных линий тока. В результате этих допущений получаем простое решение, которое можно рассматривать как первое приближение для случая непараллельных линий тока.
Заметим, что в данном случае U зависит от точки подвода тепла, так что Ре — локальное число Пекле.
Дальнейшее уточнение такого первого приближения можно получить, применив вариационный принцип к уравнению (7.2.17).
7.5. ЛАМИНАРНЫИ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ
Используем общий метод, описанный в предыдущем параграфе, для приближенной численной оценки функции влияния в ламинарном пограничном слое. Рассмотрим два предельных профиля скорости. В первом случае примем кусочно-линейный профиль, а во втором — параболический. Линии тока будем считать параллельными.
Кусочно-линейный профиль скорости. Распределение скорости в этом случае будет иметь вид (рис. 7.2,а)
и = и при у <8;
и = U при у >8.
(7.5.1)
Характеристическая толщина слоя б представлена Ординатой, соответствующей точке, в которой скорость
154
У
W/fT//////////"""
*)
а
Рис. 7.2. Идеализированные профили скорости для ламинарного пограничного слоя. а — кусочно-линейный профиль; б — параболический профиль.
принимает постоянное значение U. В этом случае функция ф(т]), определяемая уравнением (7.4.6), имеет вид:
При этом безразмерное уравнение (7.4.10) для аналогии теплопроводности запишется как
Следуя общему методу, используем приближенное кубическое распределение температуры (7.4.13). Поэтому необходимо различать две фазы, когда глубина проникновения q меньше или больше единицы.
В первой фазе, когда q<L\, тепло еще не распространилось за пределы толщины пограничного слоя б. В этой фазе мы получим ф(т]) =т]. Этот случай легко поддается расчету. Выражение (7.4.26) принимает вид:
(7.5.2)
?(<7) = ТХ- <7,
(7.5.4)
а из уравнений (7.5.27) и (7.5.28) получим:
(7.5.5)
Исключив q из этих двух уравнений, имеем:
2
0о=О,514Яот 3.
(7.5.6)
155
Сравнив полученный результат с общим уравнением (7.4.29), увидим, что приведенная функция влияния в первой фазе будет
_2_
Ф(т) = 0,514т 3. (7.5.7)
Во второй фазе, где q~> 1, необходимо рассчитать функции A(q), B(q) и g(q), определяемые уравнениями
(7.4.15) и (7.4.26) общего вариационного подхода. Расчет следует проводить для всей области г] от т]=0 до г| = <7>1, используя два кусочно-линейных выражения
(7.5.2). Он может быть выполнен либо численно, либо аналитически. Из анализа графика расчета видно, что функцию g(q) можно определить приближенно в следующем аналитическом виде [Л. 7-2]:
&(<7) = lf<? ПРИ ?<1;
g(q)-
28q
при q > 1,
(7.5.8)
73 + 81*7
откуда просто вычислить интеграл (7.4.27) для т. Тогда т и Ф(т) по уравнению (7.4.29) получаются в зависимости от q. Их значения приведены в табл. 7.1 для второй фазы (^>1) (см. рис. 7.2,а) в сравнении с приближенными значениями из (7.5.9).
Таблица 7.1
я Ф(т) 2 0,514т 3 1 0,554т 2
1,00 0,0606 3,33 3,33
1,50 0,186 1,57 1,58 —
2,00 0,386 0,993 0,970 —.
2,45 0,640 0,750 0,693 0,693
3,00 1,02 0,571 — 0,548
4,00 1,98 0,400 — 0,400
6,00 4,91 0,250 0,250
Из этой таблицы видно, что кусочно-аналитическое приближение можно считать удовлетворительным для большинства практических задач:
2
Ф(т) = 0,514т 3 при х<0,64;
(7.5.9)
Ф(т) = 0,554ц 2 при х>0,64. 156
2
Значение 0,514т 3 одинаково для обеих фаз. Интересно отметить, что первое из равенств (7.5.9) имеет место во второй фазе вплоть до точки q — 2,45. В первой фазе тепло не распространяется в жидкость за пределы толщины б, соответствующей <7=1, а в точке *7 = 2,45 тепло проникает на глубину 2,45 6.
Величина 0,554т: 2 есть асимптотическое значение для больших q. Она равна величине, найденной вариационным методом для профиля скорости cp(ri) = l, постоянной во всей области.
В точке т = 0,64 значения 0,514 т 3 и 0,554 х 2 равны.
Из табл. 7.1 видно, что приближение (7.5.9) является точным, за исключением незначительного отклонения в ограниченной области вблизи точки т = 0,64.
Сравнение с точными решениями. В первой фазе вариационное решение соответствует случаю, когда линейный профиль скорости простирается до бесконечности. Для этого случая имеем:
справедливому для всей области положительных г). Лепко проверить, что точным решением уравнения (7.5.96) будет:
2
где С — постоянный коэффициент. Это решение удовлетворяет граничному условию dQjdт) = 0 при т)=0. Постоянная С определяется из условия (7.4.11). Найдем:
