Вариационные принципы в теории теплообмена - Био М.
Скачать (прямая ссылка):
(8.5.15) в виде
где G, Кк и Рп определяются уравнениями (8.4.9), а
Поскольку 6qn произвольно, обобщенные координаты подчиняются п дифференциальным уравнениям
В частном случае, когда теплопроводность 1гц(х, у, г, t) не зависит от температуры, величина Кь определяется выражением (8.4.11) и дифференциальные уравнения принимают вид:
0=0(71, <72, •••, qn, xk, t). (8.5.16)
k
k
(8.5.18)
(8.5.19)
(8.5.20)
Уравнения могут быть приведены к этому же виду в случае, если теплопроводность является функцией тем-
186
пературы по выражению
Me)—*V(e),
(8.5.21)
где k'a — постоянные. Как показано в предыдущем параграфе, при этом температурная шкала должна меняться.
Смешанные системы <гтвердое тело — жидкость» и турбулентное течение. Случай чистой теплопроводности в неподвижном твердом теле в частном случае уравнений (8.5.19) получается, если положить Vi = 0. Следовательно, в этом случае Ьи—0 и в результате приходим к уравнению, тождественному (8.4.10). Поэтому уравнения (8.5.19) можно применять для анализа смешанных систем, состоящих из твердого тела в движущейся жидкости. Для твердого тела положим Vi — 0. В турбулентных потоках kij заменим суммарной теплопроводностью
Kij—kbij + cgij, (8.5.22)
где бгз—символ Кронекера; —молекулярная теплопроводность, a <gij — коэффициент турбулентной диффузии.
Операционная форма. Для линейной конвективной системы с параметрами, не зависящими от температуры, вариационный принцип в дополнительной форме можно также выразить в операционной форме. При этом необходимо, чтобы с, Ьц, зависели только от координат. Следовательно, поле скоростей не зависит от времени. В уравнении (8.5.9) вместо dfdt подставим оператор р, и уравнения (8.5.6) и (8.5.9) примут вид:
Л = рсъ + с j0^+y^L-=a>. (8.5.23)
Тогда, применив метод, используемый в § 8.3 для анализа чистой теплопроводности, получим:
i i pbv+bD + J J J С ^ Vi 60dz = - ^ J jini 30 dA+
t A
-}- Jj* Г w 80 dx, (8.5.24;
*
где V и D определяются уравнениями (8.3.5). Как показано в § 8.3, операционную форму (8.5.24) вариаци-
187
онного принципа можно трактовать тремя способами на основе преобразований Лапласа. Они включают алгебраический подход, а также метод свертки. Выразив 0 в виде
i
б = ^ Я А (х, у, г), (8.5.25)
получим из вариационного уравнения (8.5.24):
jL(pV + D) + Lk = Pft, (8.5.26)
где
U
i
dA -j- j | J ®6ft dr. J
(8.5.27)
Положив P = в уравнении (8.5.26), получим си* стему линейных дифференциальных уравнений для qn-
П риложение
А. ФИЗИЧЕСКИЕ АНАЛОГИИ
А.1. ВВЕДЕНИЕ
¦В восьми главах книги излагается материал, относящийся исключительно к теплообмену. Однако используемые методы и понятия имеют более широкий смысл. Они применимы для большого класса явлений, связанных с диссипацией энергии, тепло- и массообменом, электродинамикой и термодинамикой необратимых процессов. Кроме того, в книге сделана попытка возродить лагранжев подход в физике и показать, что он является частью единой системы и представляет собой эффективное средство анализа, позволяющее выработать единую точку зрения на эти процессы и выявить скрытые общие свойства и аналогии между совершенно различными типами явлений. В приложении и будет рассмотрен материал такого общего характера.
Задачи массообмена обсуждаются в § А.2. В частности, здесь исследуется изотермическая диффузия и конпекция в растворах, рассматриваемых в физической химии, а также задачи фильтрации влаги в пористых средах. Указаны возможные применения при исследовании диффузии нейтронов и динамики ядерных реакторов.
Обеспечивается более широкий физический подход при использовании лагранжева анализа термодинамики необратимых процессов. Действительно, вариационный подход к проблемам теплообмена был предложен автором как вариант методов термодинамики необратимых процессов более общего характера, а не как какой-ли’бо математический формализм. В § А.З в качестве иллюстрации термодинамики в форме Лагранжа рассматривается явление термоупругости. Кратко описываются случаи вязкоупругости и гидродинамики вязких жидкостей.
Очень важным является выяснение значения метода Лагранжа с чисто математической точки зрения функционального анализа. Этому посвящен § А.4. Физический смысл 'большей части формализма методов функционального анализа теряется применительно к теории множеств. В этой книге мы попытались восстановить до некоторой степени физический смысл фундаментальных математических .понятий в физических задачах. Весьма удобно выразить понятие виртуальной работы и связанные с нею формы на языке функционального пространства. Действительно, такие понятия не являются новыми и используются учеными и инженерами многих поколений, в частности, в области классической механики. Абстрактным и весьма общим понятием, Отражающим наиболее существенные свойства, является понятие вариационного - скалярного произведения. Оно объединяет в одно целое вариационное исчисление и некоторые другие, имеющие в литературе различные названия.
Также указывается, что непрерывная математическая модель физической системы весьма искусственна и связана с многочислен*
