Вариационные принципы в теории теплообмена - Био М.
Скачать (прямая ссылка):
Обозначим через U начальную скорость, а через б характеристическую толщину пограничного слоя и введем безразмерную переменную
число Пекле, рассчитанное по U и й.
Тогда можем записать уравнение (7.4.4) в безразмерном виде
Аналогия теплопроводности, описываемая этим уравнением, представлена нестационарной теплопроводно-
с'{у) =си(у), получим уравнение (7.4.1) в виде
(7.4.2)
(7.4.3)
(7.4.4)
00
(7.4.5)
О
и(у)=Щ(г\),
(7.4.6)
где
(7.4.7)
(7.4.8)
где
(7.4.9)
(7.4.10)
149
стью в среде с теплоемкостью с=<р(т]), зависящей от глубины г], и теплопроводностью к=\. Время представлено переменной т. Условие (7.4.5) принимает вид:
00
j 6? (ч) di\ — Н0, (7.4.11)
О
где
О7-4-12)
Следовательно, в безразмерной аналогии теплопроводности Но — количество тепла, поступающего в момент т=0.
Теперь возьмем вариационный принцип для получения функции влияния, соответствующей поступлению тепла на границе при х = 0, используя аналогию теплопроводности по уравнению (7.4.10). Распределение температуры в полуограниченном твердом теле в области т]>0 аппроксимируется кубическим выражением
0 = 0 /" 1 — при
Ч q J (7.4.13)
9 = 0 при т]><7.)
где q— глубина проникновения, являющаяся неизвестной функцией времени т. Вместо параболического приближения (7.3.13) принимается кубическое, поскольку оно дает точные решения для обычных профилей скорости, где ф('п) пропорционально т] вблизи границы т] = 0. Температура 0О при т] = 0 в выражении (7.4.13) есть функция <7, определяемая интегральным соотношением
(7.4.11). Это функциональное соотношение получается после подстановки 0 из (7.4.13) в интегральное выражение (7.4.11). Запишем его в виде
0О (A-j^ = Ha (7.4.14)
при следующих функциях q:
А= В=^т?ч{т[)йц. (7.4.15)
О О
Тепловой потенциал, соответствующий уравнению
(7.4.10), будет:
я
V = -r\?m'd-4. (7.4.16)
150
Аналог тепЛбвого смещения в точке Т) выражается
Я = J6<p(7i)d7). (7.4.17)
¦п
Целесообразно преобразовать это выражение, используя условие (7.4.11), записав его в виде
Я = Я0- (7.4.18)
О
Получим:
Я = — j 6<р (т)) d-q. (7.4.19)
о
При расчете этого выражения необходимо использовать соотношение
где
— R-3— (7.4.20)
bo ^7
— функция q. Соотношение (7.4.20) получается при дифференцировании уравнения (7.4.14) по т. Поэтому диссипативная функция D будет иметь вид:
я
(7-4-22)
о
где М — функция q.
Уравнение Лагранжа для q будет:
?i4-i? = 0. (7.4.23)
dq dq
Правая часть этого уравнения равна нулю, поскольку граница при г| = 0 теплоизолирована (отсутствует тепловой поток) и соответствующая тепловая сила равна нулю. Из уравнения (7.4.16) получим также
^-=-ву., (7.4.24)
где L — функция q.
Подставив в уравнение Лагранжа (7.4.23) выражения (7.4. 22) и (7.4.24), получим:
g(q)qq=\, (7.4.25)
151
где
/ ч М
8(Я) = -Г*
(7.4.26)
С начальным условием q = 0 для т=0 интеграл дифференциального уравнения (7.4. 25) будет иметь вид:
11 = J Qg{q)dq. (7.4.27)
о
С другой стороны, из уравнения (7.4.14) получим 0О как функцию q\
<7-4-28»
По уравнениям (7.4.27) и (7.4.28) можно построить график зависимости 0О от т, рассчитав ординаты и абсциссы как параметрические функции q. Этот график можно представить выражением
»<->=sr=;n=W- с7-4-29»
где Ф(т)—функция влияния в безразмерном виде, названная автором «приведенной функцией влияния»; 0о — действительная температура на границе. Следовательно, возвращаясь снова к физическим переменным по уравнениям (7.4.8) — (7.4.12), получаем функцию влияния в виде
рг-г)- <7-4-3°>
Параллельные линии тока и турбулентное течение. Покажем, что аналогию теплопроводности в безразмерном виде по уравнению (7.4.10) можно распространить на течение в турбулентном пограничном слое с параллельными линиями тока. Этот случай получается, если положить:
у'=у\ а= 1; ur=u(y)- k'(y)—k + cQ(y), (7.4.31)
гДе 6 (У) — коэффициент турбулентной диффузии. Подставив эти значения в уравнение (7.2.17), получим его в виде
<7-4-32>
Обозначим через U начальную скорость, а через б— характерную толщину пограничного слоя. Введем без-
152
размерные переменные т и т) по соотношениям (7.4.7) и
(7.4.8). В этих переменных дифференциальное уравнение (7.4.32) примет вид:
(7.4.33)
где
(7.4.34)
Произведя замену переменной
о
(7.4.35)
упростим уравнение (7.4.33) еще больше
(7.4.36)
где
Р(тГ) =ф(‘пМ'п)-
(7.4.37)
Уравнение (7.4.36) имеет вид уравнения (7.4.10) и также представляет безразмерную аналогию теплопроводности с коэффициентом теплопроводности, равным единице, и теплоемкостью. Р(т]')- Однако поведение функции |3(г]') отличается от поведения функции ф(г|). Вариационный метод, разработанный для ламинарного течения и использующий приближенное распределение температуры (7.4.13), может применяться для задач о турбулентных течениях только в частных случаях. Модифицированный соответствующим образом метод описан в § 7.6, посвященном численному анализу функции влияния в турбулентном пограничном слое.
Непараллельные линии тока. В этом случае функция влияния зависит от точки подвода тепла. Примем эту точку в качестве начала координат. Следовательно, абсцисса х есть расстояние вниз по потоку от этой точки. Рассмотрим аналогию теплопроводности по уравнению (7.2.17). Координату .у', постоянную вдоль линий тока, можно определить таким образом, чтобы у=у', а=1на оси у. Следовательно, у — расстояние по нормали через точку подвода тепла, а функция иг(у')=аи — профиль скорости в этой точке.
