Вариационные принципы в теории теплообмена - Био М.
Скачать (прямая ссылка):
189
ными трудностями. Понятие порога разрешимости оправдывает использование конечного числа обобщенных координат для описания, являющегося точным и полным с физической точки зрения. Невозможно перейти за пределы этого порога, поскольку непрерывная математическая модель неприменима в ‘микроскопическом масштабе.
А.2. ПЕРЕНОС МАССЫ
Большинство задач массообмена описываются теми же уравнениями, что и теплообменные задачи. Поэтому вариационные принципы и уравнения Лагранжа, разработанные в данной книге, могут непосредственно применяться для исследования массообмена с небольшими изменениями в обозначениях. В качестве иллюстрации коротко остановимся на трех типах явлений массопереноса, в которых могут применяться эти методы.
Изотермическая диффузия. Рассмотрим диффузию молекул или атомов какого-то вида в неподвижной среде, имеющей равномерную температуру. Скорость диффузии зависит от градиента концентрации и описывается законом Фика
М = — S3 grad m, (А.2.1)
где ш — концентрация, определяемая как масса диффундирующего вещества в единице объема. Вектор М — смещение массы, а его производная по времени М есть скорость диффузии. Коэффициент диффузии, обозначенный через S3, может быть функцией концентрации ш. Закон сохранения массы выражается уравнением
m=—div М. (А.2.2)
Объединив уравнения (А.2.1) и (А.2.2), получим уравнение диффузии
дт
= div (S3 grad т). (А.2.3)
Эти уравнения аналогичны уравнениям (1.2.2), ('1.2.4) и
(1.2.10а) для линейной задачи, если положить:
с = 1, М=Н; m = 0, S3=k. (А.2.4)
.Для нелинейной задачи, когда 33 является функцией т, задача об изотермической диффузии описывается теми же уравнениями, что и нелинейная теплопроводность, рассматриваемая в гл. 5. В дополнение к соотношению (А.2.4) положим в уравнениях (А.2.1) и (А.2.2)
/п = 0 = А. (А.2.5)
Таким образом вариационные принципы, разработанные в данной книге, применимы для изотермической диффузии. «В частности, вектор смещения массы М, являющийся аналогом теплового смещения Н, можно выразить с помощью обобщенных координат qi в виде
М = М(<7ь q2, ..., qn, х, у, z, t). (А.2.6)
¦Барьируя это поле яри условии (А.2.2), получим уравнения Лагранжа
дУ ¦ dD :Qt. (А.2.7)
В этих уравнениях вместо теплового потенциала используется выражение
где п — внешняя единичная нормаль на границе А объема т.
Случай совместной конвекции и диффузии массы в движущейся несжимаемой жидкости, имеющей равномерную температуру, полностью аналогичен случаю тепловой конвекции, рассматриваемому в гл. 6. Закон Фика принимает вид:
где V—поле скорости. Смещение массы М определяется как сумма конвективного и диффузионного переноса. Уравнение сохранения массы (А.2.2) остается справедливым. Объединяя уравнения (А.2.2), (А.2.11) и (А.2.12) и учитывая условие несжимаемости
Уравнения Лагранжа (А:2.7) применимы в случае конвективного переноса массы, если диссипативная функция определяется в виде
Это уравнение соответствует диссипативной функции (6.5.23) для теплообмена. Эти уравнения применимы также для изучения переноса массы в турбулентном потоке. Для этого в вышеприведенных уравнениях вместо Si надо использовать
где <§ — коэффициент турбулентной диффузии.
Для анизотропной диффузии применяется метод, аналогичный используемому для решения задач анизотропной теплопроводности и турбулентности, рассматриваемых в § 6.5.
Фильтрация в пористых средах. В целом ряде инженерных задач, связанных с движением грунтовых вод, фильтрацией в дамбах
(А.2.8)
где т— объем среды. Диссипативная функция будет:
(А.2.9)
а обобщенная сила
dA
(А.2.10)
А
J = — ёй grad m, тогда диффузионный поток будет:
J = М — \пг,
(А.2.11)
(А.2.12)
divv = 0,
получаем уравнение поля концентрации массы dm
—=т- — div (3) grad m) — v grad m.
(A.2.13)
(A.2.14)
(A.2.15)
^ = ® + <S\
(A.2.16)
191
и добычей neq)TH, необходимо решать уравнения Движений жидкости в частично насыщенной пористой среде. Эти уравнения аналогичны уравнению диффузии (А.2.3). В случае фильтрации воды т играет роль влагосодержания. Коэффициент диффузии S3 зависит от вла-госодержания, и поэтому такие задачи являются существенно нелинейными. В общем случае к уравнению (А.2.3) необходимо добавить еще один член, чтобы учесть действие капиллярных и гравитационных сил. Вариационные принципы и уравнения Лагранжа, разработанные в данной книге, могут успешно применяться для решения таких нелинейных фильтрационных задач.
Диффузия нейтронов и ядерные реакторы. Аналогичные методы применимы также и для приближенного анализа динамики ядерных реакторов. Хотя методика их применения остается той же, необходимы соответствующие изменения, поскольку такие задачи связаны не только с диффузией, но и с выделением нейтронов. Это соответствует наличию источников, зависящих от концентрации нейтронов. Кроме того, следует учитывать запаздывание нейтронной эмиссии, связанной с конечным временем релаксации источников. Этот эффект также учитывается вариационным принципом и уравнениями Лагранжа.
А.З. ТЕРМОДИНАМИКА НЕОБРАТИМЫХ ПРОЦЕССОВ
Общий метод Лагранжа в термодинамике необратимых процессов был разработан автором в 1954 г. (Л. А-1]. Более подробное обсуждение выводов из этой теории проведено в работе {Л. А-2]. Такая формулировка термодинамики необратимых процессов с помощью уравнений Лагранжа и соответствующих вариационных принципов основана на введении нового термодинамического потенциала для систем с неравномерной температурой, а также диссипативной функции, выведенной из соотношений взаимности Онзагера. Этот подход применим для широкого круга явлений механики вязких и вязкоупругих сред, а также в термодинамике, физической химии и электродинамике.
