Лазерные резонаторы - Быков В.П.
ISBN 5-9221-0297-4
Скачать (прямая ссылка):
гауссовы пучки,
7 Т О 7 I ( \ ^1 Dl , ( | А2 + D2
kimnL = 27г/ + + - J arccos---Ь + - J arccos-------,
(1.101)
где I — продольный и п, ш — поперечные целочисленные индексы, oJimn = ckimn ~ резонансная частота (рад/с), L — полная длина осевого контура резонатора или длина пути, проходимого пучком до замыкания, Ai^ и Di?2 — диагональные элементы лучевых матриц резонатора в двух плоскостях (плоскости симметрии и перпендикулярной к ней).
Одной из причин, приводящих к астигматичному гауссову пучку, являются брюстеровские окна, широко используемые в лазерной технике. Как будет показано в § 5.1, совокупность сферического зеркала и брюстеровской пластины с показателем преломления /л и толщиной D эквивалентна астигматичному зеркалу, у которого разность радиусов кривизны равна
AR = D ^ ~ + 1, (1.102)
при этом в плоскости симметрии системы (совпадающей с плоскостью чертежа, рис. 1.13) радиус кривизны эквивалентного зеркала больше, чем в перпендикулярной плоскости.
Рассмотрим симметричный резонатор с двумя брюстеровскими окнами, часто встречающийся на практике. Длина такого резонатора пусть равняется 2L. Радиусы кривизны i?i?2 эффективного зеркала связаны с параметрами Ъ\$ пучка посредством соотношений
^1,2 = Ri,2L ~ L2.
Отсюда при небольшой разности между R\ и R2 получаем
^ = \/т^(ь±зд4
Так как резонатор симметричный, то z\ — z2 — 0, и граничное условие на зеркале г^(0, 0, L) = 0 будет удовлетворено при
kL = q + (п + i) arctg ? + (m + \) arctg
Отсюда находим частотный спектр резонатора Птп = (п + т + 1) arccos ^1 - -
-1й1\/^тг<1103>
\
/
Рис. 1.13. Оптическая система, образованная пластиной Брюстера и сферическим зеркалом
58
Гл. 1. Оптика гауссовых пучков
где I — продольный индекс, п — поперечный индекс, соответствующий плоскости симметрии резонатора, т — также поперечный индекс, но соответствующий плоскости, ортогональной к плоскости симметрии. Как видно, в отличие от спектра (1.98) резонатора, обладающего осью симметрии, в резонаторе с брюстеровскими окнами отсутствует вырождение — собственные частоты щтп зависят не только от суммы п + ш, но и от разности п — т. Размеры поперечных мод различны в двух плоскостях, так как различны параметры q\ и q2, и определяются соотношениями (1.96). Однако точность измерения поперечных размеров мод невелика и эта разница вряд ли может быть замечена. Другое дело спектр, собственные частоты резонатора могут быть измерены с высокой точностью, и изменения в спектре, вносимые брюстеровскими окнами, несомненно наблюдаемы. Главное же заключается в том, что поскольку вырождение в спектре благодаря брюстеровским окнам снято, то никаких других мод, кроме мод (1.88) или (1.91), прямоугольной симметрии в резонаторе с брюстеровскими окнами не может наблюдаться. В частности, лагерр-гауссовы моды, исследуемые в § 1.8, не могут реализовываться в резонаторе с брюстеровскими окнами.
Наиболее часто встречающимся источником астигматизма в резонаторах является сферическое зеркало при наклонном падении на него гауссова пучка. Действительно, такое зеркало (см. §5.1) при угле падения пучка, равном 7, эквивалентно астигматичному зеркалу с радиусами кривизны R± = i^cos^1 7, где верхний знак соответствует радиусу кривизны эквивалентного зеркала в плоскости падения пучка, а нижний — радиусу кривизны в перпендикулярной к ней плоскости. Соответственно, лучевые матрицы зеркала для этих плоскостей имеют вид
Пусть на зеркало под углом 7 падает астигматичный гауссов пучок, перетяжка которого отстоит от зеркала на расстояние L и находится в точке / (рис. 1.14). Пусть также пучок после отражения проходит расстояние X. Тогда лучевая матрица оптической системы имеет вид
Потребуем теперь, чтобы в конечной точке F находилась перетяжка отраженного пучка, т. е. параметр пучка в этой точке должен быть чисто мнимым qp = —ibp. (Предполагается, что начала осей 2 для падающего и отраженного пучков находятся на зеркале.) Пусть также
(1.104)
1.7. Эрмит-гауссов пучок и высшие моды лазерного резонатора 59
в начальной точке / находится перетяжка падающего пучка и qi —
— —ibj. Применяя правило ABCD, получим
Qf = —ibp = (Aqi + Б)/(С#/ + D) =
= [(RD + АСЬ)) - ib!}/(D2 + С2Ъ)). Так как левая часть чисто мнимая, то
BD + ACbj = 0. (1.105)
Отсюда получаем
Y _ [2b] — L(Rcos±1 7 — 2L)]Rcos±1 7<
± ” Abj + 0Rcos±17-2L)2 ’
7 (i) _ 67Я2 cos±27
F ” 462 + (i^cos±17-2L)2‘
Таким образом, параметры пучка q±(z) в плоскости падения и в перпендикулярной к ней существенно различны:
q±(z) = z- Х±- ib(p\
т. е. пучок после отражения также астигматичен.
Решим теперь небольшую задачу с астигматичным пучком, а именно, потребуем, чтобы в рассмотренной выше системе (рис. 1.14) расстояния X и L были равны, и найдем такой пучок, который сохраняет свой параметр b при прохождении через эту оптическую систему, т. е. найдем пучок, который в некотором смысле является для нее собственным. Для этого нужно в матрице
(1.104) положить X — L и воспользоваться условием (1.105) также очевидно
необходимым в этом случае. Из (1.105) ^ ^
получаем
