Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Быков В.П. -> "Лазерные резонаторы " -> 21

Лазерные резонаторы - Быков В.П.

Быков В.П., Силичев О.О. Лазерные резонаторы — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 320 c.
ISBN 5-9221-0297-4
Скачать (прямая ссылка): lazernierezonatori2004.djvu
Предыдущая << 1 .. 15 16 17 18 19 20 < 21 > 22 23 24 25 26 27 .. 113 >> Следующая

Обратимся теперь к поперечным размерам высших мод. В качестве поверхности, ограничивающей эрмит-гауссов пучок, т. е. в качестве
(z - Zi)x2/2\qi\2 + (z- z2)y2/2\q2\2 =
= (z - z0) ~ ^П +fc1//2'> arctg
b\ + (zo - zi)(z - Zo)
bl(z - Zq)
(m + 1/2) к
2Ri 2R2 ’
(1.94)
где
(n + l/2)6i _ (m + 1/2)62
k[b\ + (zo - zi)2] k[b% + (zo - z2)2]
(n + 1/2) (m + 1/2) _ n_3 n_5
kb1 ’ kb2
1.7. Эрмит-гауссов пучок и высшие моды лазерного резонатора 55
его каустической поверхности примем поверхность, на которой функции параболического цилиндра, входящие в (1.91), имеют перегиб и вне которой их зависимость от поперечной координаты становится экспоненциально затухающей. Соответствующие точки определяются условием (1.90). Таким образом, каустические поверхности эрмит-гауссова пучка (1.91) описываются соотношениями
Xn{z) = \j^Z~ ^ +— (2п + 1), ym{z) = \J~ ^ +— (2т + 1)
(1.95)
и являются гиперболическими цилиндрами. Величины xn(z) и ym(z) равны половинам поперечных размеров пучка соответственно вдоль оси х и вдоль оси у. Их можно выразить через поперечные параметры основного пучка:
xn(z) = wi (z)\/2n + 1, Ут(г) = w2{z)\/2m + 1. (1.96)
Отсюда следует, что поперечные размеры высших поперечных мод, так же, как и основной поперечной моды, могут быть найдены с помощью правила ABCD. Действительно, согласно (1.16) и (1.96),
г (z) = I 2n + 1 у (z) — I 2т +1
Xn(Z) V k1m(l/qi(z))’ Ут( ) V klm(l/q2(z))'
Покажем теперь, что эрмит-гауссовы пучки (1.91) могут быть собственными модами резонатора, образованного сферическими зеркалами, и выясним, при каких условиях это происходит. В таком резонаторе астигматизм отсутствует, поэтому можно положить Ъ\ — b2l zi — z2 — zo, и эрмит-гауссов пучок (описывающий стоячую волну) примет вид
Un,m(x,y,z) = Щф»(-)фт(^) X
х I sin [k{Z2\q\°)r ~(п + т + 1) arctg + kz + у] }, (1-97)
где г = х2 + у2. В § 1.2, подчиняя простой гауссов пучок граничным условиям, мы действовали в два приема. Во-первых, требовали, чтобы волна на оси z в точках ее пересечения с зеркалами обращалась в нуль, и это приводило к уравнению (1.25). Во-вторых, требовали, чтобы в точках пересечения оси z с зеркалами радиусы кривизны волновых фронтов совпадали с радиусами кривизны зеркал, это приводило к уравнениям (1.23) и (1.24). Действуя теперь так же по отношению к эрмит-гауссову пучку (1.97), замечаем, что второе требование вновь приведет нас к уравнениям (1.23) и (1.24); поскольку кривизны волновых фронтов всех эрмит-гауссовых пучков такие же, как у основного гауссова пучка. Так как эти уравнения определяли параметр гауссова
56
Гл. 1. Оптика гауссовых пучков
пучка b и расстояния z\ и от зеркал до перетяжки, то эти величины оказываются, таким образом, общими для всех эрмит-гауссовых пучков (1.91) и по-прежнему определяются соотношениями (1.26), (1.27) и (1.28).
Первое же, упомянутое выше, требование об обращении в нуль поля на оси z в точках ее пересечения с зеркалами приведет теперь к другому, нежели (1.25), уравнению. Для эрмит-гауссова пучка с индексами п и т получаем, согласно (1.97),
hmnL = 1ж+ (n + m + l) arccos y?gig2,
ИЛИ 1С с
Птп = ^ (n + m + l) arccos ^/gig2, (1-98)
где L — длина резонатора, I — продольный индекс, равный числу полуволн поля, укладывающихся на длине резонатора L. Отметим, что в этом соотношении учтены и частоты продольных мод, рассматривавшихся в § 1.2, поскольку при п — т — 0 эрмит-гауссов пучок переходит в простой гауссов пучок, а (1.98) — в соотношение (1.34).
Таким образом, мы показали, что эрмит-гауссовы пучки (1.88) или (1.91) при условии (1.98) являются собственными модами резонатора, образованного сферическими зеркалами. Хотя резонатор в этом случае не обладает астигматизмом, собственная мода может быть астиг-матичной, поскольку индексы п и т могут различаться. В следующем параграфе будут построены моды более симметричные, чем эрмит-гауссовы пучки (1.88) или (1.91), и более соответствующие симметрии рассмотренного резонатора.
Отметим некоторые особенности спектра (1.98). Моды, у которых продольные индексы отличаются на единицу (соседние, продольные), а поперечные одинаковы, отстоят друг от друга по частоте на интер-
вал AJ = с/21/. (1.99)
Моды, у которых только индекс п отличается на единицу или только индекс т отличается на единицу (соседние, поперечные), отстоят друг от друга по частоте на интервал
Дг/± = 2тг! arccos V9192- (1.100)
Моды, у которых одинаковы суммы индексов п и ш, не отличаются по частоте. Это свойство резонатора означает вырождение его мод, т. е. одной собственной частоте резонатора соответствуют несколько собственных мод. Вследствие этого вырожденные моды могут образовать суперпозицию с иным, чем в (1.88) или (1.91), поперечным распределением поля, которая также будет собственной модой резонатора. В частности, в следующем параграфе будут построены лагерр-гауссовы моды, являющиеся суперпозициями мод (1.88) или (1.91).
Приведем соотношение, определяющее спектр произвольного резонатора, моды которого представляют собой астигматичные эрмит-
1.7. Эрмит-гауссов пучок и высшие моды лазерного резонатора 57
Предыдущая << 1 .. 15 16 17 18 19 20 < 21 > 22 23 24 25 26 27 .. 113 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed