Лазерные резонаторы - Быков В.П.
ISBN 5-9221-0297-4
Скачать (прямая ссылка):
фронт немного искривляется. Заметим, что при /3 = 1 он состоит из
отдельных прямолинейных отрезков (рис. 1.15), соответствующих условиям
tg^x = 0 и tgkzz = 00.
Но вдоль отрезков, соответствующих первому условию кхх — тъ, амплитуда равна нулю, и эти отрезки из картины выпадают. На отрез-
7 ^ ,
ках же, соответствующих второму условию kzz — — + Ш7Г, амплитуда
волны отлична от нуля (кроме отдельных точек), и эти отрезки сливаются в единый фронт, перпендикулярный оси.
Разумеется, в комплексном эрмит-гауссовом пучке картина еще сложнее, поскольку там не простые экспоненты, а функции параболического цилиндра. Правда, эти рассуждения существенны для высших мод, но не для основной. Для основной моды понятие о волновом фронте сохраняет свой простой смысл, и радиус кривизны волнового фронта основной моды определяется формулой (1.81).
При комплексном значении b = b + ib эрмит-гауссов пучок имеет особенности, связанные с множителем
' ~(z - Z\) + гЪ\(2п+1)/4 (z-z 1)
exp
-/ . 1 \ , z-zi] ( — (z — zi) + ib\ f2^1)/4
.(n + ^ctg— ={ } (1.113)
в (1.88), который при b = 0 имеет чисто фазовый смысл. Выражение в фигурных скобках нетрудно представить в виде (z\ — z + iz)
_ z- z-b-i(z-b) _ / (z - z - b)2 + (z - bf ei(7r+/3_a)
z — z + b — i(z + b) у (z — z + b)2 + (z + b)2
где
a = arctg —-—, [3 = arctg —^ + ^ _.
z — z — b z — z -\-b
§1.8. Лагерр-гауссов пучок и вырождение мод лазерного резонатора 65
Отсюда следует, что множитель (1.113) в комплексном эрмит-гауссо-вом пучке имеет не только фазовый смысл, но и дает дополнительную зависимость амплитуды пучка от z. Аналогично, множитель [(z — zi)2 + 62]-1/2 в комплексном эрмит-гауссовом пучке имеет не только амплитудный смысл, но и приводит к дополнительной зависимости фазы от z.
§ 1.8. Лагерр-гауссов пучок и вырождение мод лазерного резонатора
Поле лагерр-гауссова пучка описывается выражением / \ G ( kbr2 X |?тг|/2 / ч / kbr2 \
“(г'v’г) = WT7 ?"(wrs)х
Г kbr2 , ikzr2 .п ||0 ^ ,
х ехр[“ WT*)+ ттщ ~г(|т| + 2п+1) arctg ъ+
+ ikz + irrup + г-f/jj, (1.115)
где г, ср, z — цилиндрические координаты, L^ — полиномы Лагерра (при ш / О — присоединенные полиномы Лагерра), т/> — произвольная фаза поля, п — радиальный и т — азимутальный поперечные целочисленные индексы. В дальнейшем комбинацию функций
^т\р) = Hm|4wV)e-p2/2, (1.116)
где
Р-2 = ^ (1-ПТ)
будем рассматривать как единую лагерр-гауссову функцию. Тогда поле лагерр-гауссова пучка можно представить в виде "(г'<лг) = х
х ехр[~2(Ь2 + г2) +2п + 1) arctg | +
+ ikz + irmp + iip j, (1.118)
из которого видно, что лагерр-гауссова функция ^ ^Т 2) опи~
сывает поперечное распределение поля в сечении z.
Несколько замечаний о полиномах Лагерра и лагерр-гауссовой функции. Полиномы Лагерра определяются соотношением
1 -г
4т)(х) = Лх~шех4— (е-ххп+ш); 71 w п\ dxn v
5 В.П. Быков, О.О. Силичев
66
Гл. 1. Оптика гауссовых пучков
очевидно, что это именно полиномы, поскольку экспоненты после выполнения операций дифференцирования уничтожаются. Прямой подстановкой можно убедиться, что они удовлетворяют уравнению
х
т2 т(гп)
Л , / 1-1 \ ^-*-^7?
+ (ш + 1 - х) —?—I- nl4m) - 0.
dx2 dx
Учитывая его, можно убедиться, что лагерр-гауссова функция <5?^ (р) удовлетворяет уравнению
j2 rz?(m) i rz?(m)
р2 +р ~ [/°4 - 2(т + 2п + Х)р2 + т2]^ = °-
Это уравнение можно также представить в виде
_ [/04(r) _ 2(m + 2n+ 1)р2{т) + m2]^M = 0>
где p есть функция т, p = e-r. Отсюда видно, что характер функции Jz?пш) различен в области между корнями уравнения (р > 0)
рА — 2 (ш + 2п + 1)/о2 + ш2 = 0
и вне этой области.
Между корнями этого уравнения функция (р) осциллирует —
именно здесь лежат корни полиномов Лагерра Lвне же этой области функция (р) затухает. Поэтому значения р
Pi,2 = \J{ръ Н- 2?Т/ 1) dz (2п Н- 1)(2п Н- 2m Н- lj (1.119)
можно принять в качестве условных границ, между которыми сосредоточено поле лагерр-гауссова пучка. Учитывая (1.117), получаем уравнение каустических поверхностей, ограничивающих поле лагерр-гауссова пучка
- i = 1- (1.120)
k~1bpl2 b2
В плоскости z — 0 поле пучка заполняет, таким образом, кольцо с внешним и внутренним радиусами
7*1,2 = VF^pi,2 = ^+ 2n + 1) =Ь д/(2п + 1)(2п + 2ш + 1) ]. (1.121)
В плоскости z ф 0 размеры соответствующего кольца определяются равенствами
^1,2(2) = /%2лЛ2 + z2/Ь =
= у/(kb)~1(b2 + z2) [(та + 2n + 1) ± л/(2n + 1)(2п + 2ш + 1) ].
(1.122)
§1.8. Лагерр-гауссов пучок и вырождение мод лазерного резонатора 67
Радиусы кривизны волновых фронтов всех лагерр-гауссовых пучков (1.118) с высокой точностью совпадают и равны
R — (р2 + ^0 ) / ^0 5
где zo — координата точки пересечения волнового фронта с осью 2.
Покажем теперь, что лагерр-гауссов пучок может быть представлен в виде суперпозиции эрмит-гауссовых пучков. Для этого запишем поле эрмит-гауссова пучка для случая zi = z2 = О, Ь\ = Ь2 = Ь:
х
х ““’{‘[щй?) + WTW) -(*+'+11 arctEf + kz + }¦
где также используем новые индексы s и t, чтобы не спутать их с индексами лагерр-гауссовапучка. Сравнивая это выражение с (1.118), убеждаемся, что зависимость от z в них одинакова при s + t = п + 2т. Следовательно, достаточно показать, что поле лагерр-гауссова пучка (1.118) в сечении z = 0 можно представить как суперпозицию эрмит-гауссовых полей с s + t = const = п + 2\т\ том же сечении z = 0, т. е. нужно доказать, что
