Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Быков В.П. -> "Лазерные резонаторы " -> 23

Лазерные резонаторы - Быков В.П.

Быков В.П., Силичев О.О. Лазерные резонаторы — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 320 c.
ISBN 5-9221-0297-4
Скачать (прямая ссылка): lazernierezonatori2004.djvu
Предыдущая << 1 .. 17 18 19 20 21 22 < 23 > 24 25 26 27 28 29 .. 113 >> Следующая

/ ---—-----^—- Рис. 1.14. Наклонное падение
и— V — it cos 7J. гауссова пучка на сфериче-
Как мы увидим в § 1.14, это выражение ское зеРкал0
сильно облегчит нам отыскание мод кольцевых резонаторов в некоторых симметричных случаях.
Обсудим теперь одно возможное и в некоторых случаях существенное обобщение астигматичного эрмит-гауссова пучка (1.88). В §1.12 показывается, что пучок (1.88) удовлетворяет параболическому уравнению и, следовательно, приближенно — волновому уравнению, при этом нетрудно видеть, и там это подчеркнуто, что все выкладки в доказательстве остаются справедливыми и в том случае, когда параметры и &i?2 являются комплексными. При комплексных значениях параметров и Ь\^ существенно изменяется распределение полей высших мод. Для примера отметим, что масштабные множители w\^
60
Гл. 1. Оптика гауссовых пучков
в этом случае также комплексны, и полиномы Эрмита, поскольку их корни обязательно вещественны, ни при каких х и у не обращаются в нуль, т. е. при комплексных z\p и отсутствуют темные пятна в поперечных распределениях полей пучка (1.88). Такой пучок называют комплексным гауссовым пучком. Разумеется, возможны случаи, когда пучок является комплексным лишь в одной из его плоскостей симметрии, т. е. когда комплексны лишь z\ и bi, a z2 и Ь2 — вещественны или комплексны z2 и b2l a z\ и Ъ\ — вещественны.
Возможность комплексных значений z\p и приводит к специфической проблеме определения высших мод резонатора. Пусть, например, с помощью правила ABCD (§1.5) найдены параметры qip основного пучка, тогда для отыскания высших мод необходимо эти параметры разделить на две части:
4i,2 = (z - 21,2) - ibifi, (1.106)
что при возможных комплексных значениях z±p и Ъ\р является неоднозначной операцией — необходимы дополнительные физические соображения для такого разделения. Далее эти физические соображения приводятся и дается способ определения параметров zip и Ъ\р. Однако отметим, что, если в резонаторе отсутствуют гауссовы диафрагмы, то проблемы нет — параметры вещественны и просто равны мнимым частям qip. Соответственно, вещественны и однозначно определяются из (1.106) параметры z\p. Если же гауссовы диафрагмы в резонаторе присутствуют, то отыскание высших мод, описываемых комплексным гауссовым пучком, более сложно.
Итак, пусть в резонаторе распространяется комплексный гауссов пучок (1.88) (Im&i?2 ф 0, или Imzip ф 0). Для того чтобы найти то значение 6, которое, согласно (1.89), определяет высшие собственные моды лазерного резонатора, нужно проследить за его изменением при проходе пучка по резонатору и потребовать его самовоспроизводства после полного обхода резонатора подобно тому, как это делается с параметром q. При этом достаточно проследить отдельно за параметрами для каждой из плоскостей симметрии пучка.
Очевидно, что при распространении пучка между оптическими элементами резонатора параметр b не изменяется. Изменение же b на оптических элементах можно найти, во-первых, из известного преобразования параметра q на этом оптическом элементе и, во-вторых, из очевидного условия неизменности масштабного параметра w, которое сводится к равенству
(С2 + b2)~4 = (С'2 + Ъ'2)-1^, (1.107)
где ( = z — z(z = z 1,2)116 — составные части параметров
q = C~ib, q' = C-ib'.
Легко показать, что это равенство можно представить как часть соотношения, следующего из правила ABCD. Действительно, для оп-
1.7. Эрмит-гауссов пучок и высшие моды лазерного резонатора 61
тического элемента, описываемого матрицей (1.40), правило ABCD приводит к соотношению
1 = i - Р. (1.108)
q' q
Так как q = ( — ib и q' = ?' — ib', то равенство (1.107) можно считать
мнимой частью соотношения (1.108) в предположении, что величины
?, Ь', b и Р считаются вещественными. Соответственно, действительная часть (1.108) имеет вид
С'2 + Ь12 = С2+ь2 ~~ Р' (1-109)
Два равенства (1.107) и (1.109) позволяют, таким образом, найти комплексные параметры ?' и b1 пучка, прошедшего через оптический элемент.
Еще раз отметим, что равенства (1.107) и (1.109), в которых ( и b комплексны, вытекают из физического требования к масштабному множителю w (1.89) и из условия (1.108). Лишь формально эти равенства являются, соответственно, мнимой и вещественной частями (1.108) в предположении, что (, У, & и Р вещественны. Однако это формальное обстоятельство очень удобно для вычислений. Действительно, постоянство параметра b в свободном пространстве также можно получить из правила ABCD, т. е. из равенства
q' = q + L,
если в нем разделить вещественную и мнимую части, предполагая ?, Ь', b и Р вещественными. Естественно, что эта особенность сохраняется и при всех последующих преобразованиях пучка.
Следовательно, параметр b резонатора, содержащего гауссовы диафрагмы, может быть определен из правила ABCD. Для этого комплексный параметр q запишем в виде q = ( — ib (( = zo — Zi, zо — координата сечения, к которому отнесена матрица ABCD), и воспользуемся соотношением (1.63)
A(C-ib) + B ^ C(C-ib)+D'
Предполагая в этом соотношении А, В, С, D, а также ?, b (временно) вещественными и разделяя в нем вещественную и мнимую части, приходим к уравнениям, определяющим ( и Ъ. Разрешая эти уравнения, получим соотношения
Предыдущая << 1 .. 17 18 19 20 21 22 < 23 > 24 25 26 27 28 29 .. 113 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed