Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Быков В.П. -> "Лазерные резонаторы " -> 20

Лазерные резонаторы - Быков В.П.

Быков В.П., Силичев О.О. Лазерные резонаторы — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 320 c.
ISBN 5-9221-0297-4
Скачать (прямая ссылка): lazernierezonatori2004.djvu
Предыдущая << 1 .. 14 15 16 17 18 19 < 20 > 21 22 23 24 25 26 .. 113 >> Следующая

Поле астигматичного эрмит-гауссова пучка описывается выражением
un^m(x,y,z) =
G
j[(z-ziy+bl][{z-z2y + bl\
х exp
Г ikx iky .( 1\
exp —----------h ---------г [n + -
L 2q\ 2q2 V 2 /
- 2qi
(n + i) arctg
Z — Z1
(1.88)
где
(1.89)
4*
52
Гл. 1. Оптика гауссовых пучков
Нп(?) и Hm(rj) — специальные функции — полиномы Эрмита; комплексные параметры эрмит-гауссова пучка q\ и q2, как и ранее, равны
qx—z-z 1 - ibi, q2 — z - z2 - ib2.
Астигматизм пучка (1.88) выражается в том, что параметры bi, z\ и индекс п, описывающие распределение поля в плоскости ж, отличаются от параметров b2, z2 и индекса ш, описывающих распределение поля в плоскости у. Параметры z±p и &i?2 могут принимать не только вещественные, но и комплексные значения. При вещественных zip и &i?2 пучки (1.88) описывают моды лазерных резонаторов, в которых нет гауссовых диафрагм. Если же такие диафрагмы в резонаторе имеются, то его модами являются пучки (1.88) с комплексными параметрами zip и bip. Сначала мы рассмотрим пучки с вещественными и затем — комплексными z±p и
Отметим основные свойства полиномов Эрмита. Полином (или многочлен) Эрмита Нп является полиномом п-й степени, все корни которого вещественны и расположены симметрично относительно начала координат приблизительно на одинаковом расстоянии друг от друга. Как и всякий полином, полином Эрмита стремится к =Ь =Ьоо, т. е. бесконечно нарастает по модулю, если независимая переменная стремится к бесконечности по модулю. Однако амплитуда поля эрмит-гауссова пучка u(x,y,z) не стремится к бесконечности при нарастании х и у , поскольку в u(x,y,z) (1.88) в качестве множителя присутствует гауссова экспонента, которая стремится к нулю гораздо
быстрее, нежели любой полином к бесконечности. Комбинация
Ф„(0 = Я„(?)е-«2/2
также является специальной функцией, носит несколько громоздкое название — функция параболического цилиндра и удовлетворяет уравнению
^ш + (2п+1-е)^п(о = о.
Ясно, что нули функции Фп(?) те же, что и у полинома Эрмита iifn(?), но эта функция затухает при ? —у =Ьоо. Несколько первых функций Фп(?) показаны на рис. 1.12. Точки перегиба этих функций, не совпадающие с их нулями, можно видеть на том же рис. 1.12, они расположены при
? = = 2 \fn+\. (1.90)
ского цилиндра
1.7. Эрмит-гауссов пучок и высшие моды лазерного резонатора 53
В этой точке изменяется характер зависимости функции параболического цилиндра от ?. Из осциллирующей при |?| < ?п она переходит в экспоненциально затухающую при |?| > ?п. Поэтому точки ? = =Ь?П могут рассматриваться как условные границы той области, где сосредоточено поле, описываемое функциями параболического цилиндра.
Используя функции параболического цилиндра Фп и Фш, поле эрмит-гауссова пучка можно записать в виде
Отсюда видно, что фазовая скорость поля на оси пучка больше скорости света в вакууме:
В результате на всем протяжении оси z в пучке набегает фаза на (п + т + 1)7г меньше, чем в плоской волне.
Отметим, что набег фазы на оси пучка (1.92) зависит от индексов моды п и ш, т. е. у разных поперечных мод набеги фаз различны. Это
свой знак, такое изменение знака может интерпретироваться как изменение фазы на 7г. Выражение (1.92) для фазы поля пучка не учитывает эту возможность.
(1.91)
где
Как видим, фаза поля в произвольной точке пучка*) равна
ip(x, у, z) = kz - (п + i) arctg -
Соответственно, на оси пучка фаза поля равна <p(z) = <p(0,0,z) =
= kz — [п + i) arctg г ^ Zl - (m + |) arctg г ^ g2 + ip.
ft? = c{i - (n+i)&! / + (г - 0i)2]-
- (m+^)b2 / k[bl + (z - z2)2]} > c.
*) Функции n(x/w{) и 4?m(y/w2) в зависимости от ж и у могут изменять
54
Гл. 1. Оптика гауссовых пучков
обстоятельство будет существенным, как мы увидим далее, при рассмотрении граничных условий на зеркалах, и приведет к зависимости частотного спектра мод от поперечных индексов пит.
Найдем теперь форму и радиусы кривизны волнового фронта пучка (1.91). Для этого потребуем, чтобы фаза (1.92) была постоянна и равна фазе на оси пучка при z = zq. Тогда получим уравнение
определяющее волновой фронт пучка (1.91), пересекающий ось z в точке zо- Поскольку х и у в пучке малы, то на волновом фронте z ~ zo и, следовательно, аргументы арктангенсов малы. Поэтому, заменяя арктангенсы их аргументами, приводим уравнение (1.93) к следующему виду:
Ri = |<?1|2/Фо - zi), R2 = |д2|2/фо - z2)
— радиусы кривизны волнового фронта, имеющего согласно (1.94) форму астигматичного параболоида. Величина
пренебрежимо мало отличается от единицы; действительно, добавочные члены в реальных ситуациях приближенно равны
Таким образом, в реальных ситуациях радиусы кривизны волновых фронтов в точке zo для всех эрмит-гауссовых пучков вида (1.91) одинаковы. Это очень существенное обстоятельство, поскольку выше было сформулировано простое правило (правило ABCD, § 1.5) для определения радиуса кривизны волнового фронта простого гауссова пучка (основной моды); у высших поперечных мод радиусы кривизны такие же, как у основной моды. Кроме того, оно показывает, что, если какой-либо один эрмит-гауссов пучок из семейства (1.91) (например, основной с п = т = 0) удовлетворяет граничному условию на зеркале, то и все остальные пучки этого семейства будут удовлетворять тому же граничному условию, правда, при несколько другой частоте со = кс.
Предыдущая << 1 .. 14 15 16 17 18 19 < 20 > 21 22 23 24 25 26 .. 113 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed