Гравитационные волны в ОТО и проблема их обнаружения - Бичак И.
Скачать (прямая ссылка):
* Вычисления в этом параграфе выполнены нами совместно с А. В. Гусевым.
197І = ^Lf0, ? + ^o^-a = 0, (7.49)
a + б^? =^L сл, b + beb + q0a = --^L C0ec;
ec = 2 COS COm/, ^s = 2 ^sin 0)^
(черта сверху означает усреднение по периоду 2я/соц).
Соответственно с (7.47, 7.48) результирующий ток на входе усилителя будет представлен в виде
і = q + in = iccosCom/—issin Com/ + (высшие гармоники). (7.50a) Нетрудно найти, что
Іс = -COm/? + Inc, іпс =z 2 Іп COS COm/ ,
____(7.506)
is = G>nfl + ^s» tns -—2 In sin CO^.
Из уравнений (7.49) и формул (7.50) можно получить спектральные амплитуды тока — сигнальную и шумовую в составе компоненты Ic: isc, Vc (как видно из (7.49) при выбранной фазе сигнала компонента is содержит только шум):
?С(/со) = -(Det (/со))-' 270/0 (-^)2,
Hc(усо) = (/со -?гс + Det(/со)|Det(/«)М,
Det (/со) --со2+ /6есо + Xql (7.51)
Временную эволюцию сигнального отклика, рассчитанную по уравнениям (7.51) на интервале О^^т, запишем как
?(0- -?-}!-^^-".,' + -^)}.
^(ТГ-ШЧ^)'^-1'-
(7.52)
Для импульса, содержащего по крайней мере несколько периодов частоты сод» при выполнении условия беТ>1 максимум сигнального отклика (7.52) достигается при
Wo - ь (?c)opf = 2/со^тQe. (7.53)
Условие (7.53) соответствует «оптимальной измерительной стратегии» по критерию «обратного влияния» (7.23) и связано с оптимизацией чувствительности только по величине сигнального отклика на выходе датчика [194].
198І Формулы (7.51) вместе с (7.466), (7.47) учитывают влияние шумов и датчика и усилителя; их достаточно для того, чтобы, пользуясь той же методикой, что и в § 7.2, рассчитать отношение (сигнал/шум), которое может быть достигнуто при оптимальной возможной обработке сигнальной и шумовой компонент ics, icK
Здесь, однако, уместно ввести дополнительный фактор, весьма важный для гравитационно-волнового эксперимента и существенно влияющий на конечную чувствительность антенны. Это точность оценки временного положения импульсного воздействия. Действительно, гравитационно-волновой эксперимент в настоящее время проводится по схеме совпадений для исключения возмущений негравитационной природы. Точность регистрации совпадающих откликов двух независимых антенн непосредственно зависит от возможности точного определения временного положения сигнала, принятого одиночной антенной. В предыдущих параграфах (§ 7.1, 7.2) это обстоятельство не акцентировалось, внимание сосредотачивалось на способах получения высокой чувствительности к обнаружению внешнего воздействия без дополнительных ограничений. При учете шумов усилителя чувствительность, естественно, зависит также от полосы приема, выбор которой влияет на временное разрешение установки в целом.
Таким образом, используя (7.51), следует оценить отношение (сигнал/шум) jit на выходе оптимального фильтра при дополнительном условии — фиксированной дисперсии оценки временного положения сигнального отклика аЛ
Общие выражения для \х и ат2, содержащиеся в традиционной теории оптимальной фильтрации, имеют вид [179, 180]
H= — Г
Г 2л J
/<5>
(/0)) 12 d(o
(I^ (Zco)I2)
OO
; о«=-!- Г
т 2я J
V2Usc (Ml* < і'?(/») і2)
(7.54)
Для числителя подынтегральных выражений используем непосредственно первое из уравнений (7.51); спектральную плотность флуктуаций Icf в знаменателе представим в форме
<иї(/со)І2> |Det(/o>)|-2f (7.55)
где введен параметр флуктуаций
T1 Se + SA+ 2Я (Re Si*) 1
Tl= 1 -J--2-
L R2Si
1/2
(7.56)
После подстановки требуемых выражений в (7.54) можно прийти к следующей записи р2 и ах2:
0Г2
(2я)3/2
(
«ц
(7.57а) (7.576)
199І -1
где интегралы /ь J2 определены выражениями
od oo
J1 = j J(со) da, J2 = J (O2J (со) dco, (7.58)
о о
где
./(СО)= [sin« f- / (^)2] [(Wc +
Для того чтобы установить более наглядную связь с предыдущими результатами (§ 7.2), рассмотрим последовательно три возможных подхода к задаче обнаружения слабой силы.
L Расчет предельной чувствительности без дополнительных ограничений («простое обнаружение»). Допустимы любые аТ), целью является только регистрация сигнала, т. е. условие Jui2^l. Предполагая сигнальные импульсы достаточно короткими (т->0) для того, чтобы положить (sin^/jc)2— 1, (jc=cot/2), несложно вычислить Ji из (7.58) и получить для отношения (сигнал/шум) (7.57а)
,^(^^(^)1/2^]-1. (7.59)
Очевидно, что для максимизации [і следует минимизировать произведение г)SiR. Такая операция при ИФО и заданной шумовой температуре усилителя отвечает условиям Si-^O, Se — Sr1-^oo, S/??=const (которые можно выполнить за счет использования согласующих устройств— трансформатора и т. д.). Тогда из (7.56) следует
ОіЗДтіп = (<SiSeY/2 — ~~~—Re S1-,, (7.60)
ZJl
1 / Se \ 1/2
Подстановка (7.60) в (7.59) дает предельно достижимое отношение (сигнал/шум)
JW = (—\2 [m^Tn — 2nm Re St- }. (7.61)
\ 2/2 )
Для сигналов конечной длительности при выполнении условия шах [т], ті2, 6eT]»<7o2/(<7o2)opt (7.53) интеграл также легко оценить: J1CzLit 2Xq2 M J ; его подстановка в (7.75а)
