Гравитационные волны в ОТО и проблема их обнаружения - Бичак И.
Скачать (прямая ссылка):
Порядковая оценка реакции интерферометрической антенны на гравитационно-волновое воздействие (и также оценка его чувствительности), которую мы привели выше, относится к длинноволновому пределу, когда размер базы интерферометра мал в сравнении с длиной гравитационной волны l<giXg. В этом приближении ряд особенностей взаимодействия гравитационных волн с таким детектором опускается; интерферометру отводится роль регистрирующего элемента (параметрического датчика с оптической накачкой), измеряющего возмущения пробных масс-зеркал. Между тем взаимодействие гравитационного всплеска с такой антенной более сложно, и это должно найти свое отражение в структуре сигнального отклика [230]. Ниже приводится расчет реакции интерферометрической антенны при произвольном соотношении / и Xg.
§ 8.1. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ФОТОНОВ
C ГРАВИТАЦИОННОЙ ВОЛНОЙ
В приближении геометрической оптики, когда оптическая длина волны Xe много меньше других характерных масштабов Xg и /, движение фотонов в поле гравитационного излучения может быть
8 И. Бичак, В. Н. Руденко
209 описано уравнением геодезических для частиц с нулевой массой
J^L = JL Ji^kPk6; (8.1)
dp 2 дха
здесь, как и ранее, gav=v\av + hav— метрика; ka — единичный вектор, касательный к траектории фотона; р — параметр вдоль траектории. Наблюдаемая частота электромагнитного излучения связана с нулевой компонентой вектора ko.
Расчет удобно вести в синхронной системе отсчета: зеркала интерферометра считаются свободными и в нулевом приближении по амплитуде метрики покоящимися. Используя свойства синхронной системы отсчета, goo=l, Soi = O, несложно показать, что и в первом порядке разложения метрики по h 4-скорость ua=dxaJds=(l, 0, 0, 0).
Представляя решение (8.1) в виде ряда по h
ka == koJ ^a ~f" . • . J ka Hk
имеем нулевое Приближение: (dka/dp)=0, A(a = яа = const и уравнение для первой поправки
4--?-^6. (8-2)'
dp 2 дха откуда значение ka в точке р=Р есть
(P) = Ag» (0) + ± «"Ж» J -?- dp. (8.3)
О
Интегрирование в (8.3) ведется вдоль траектории фотона; координаты, от которых зависят ftpo, определены параметрически: ха=яар + *а(0). Наконец, набег фазы фотона в точке р=Р находится из соотношения &a=d\|)/дха9 т. е. р
Ч>(Р)=Ф(0) + 'Jfea (р) n«dp, (8.4)
о
здесь i|) выражено в единицах 2яДе.
Для того чтобы перейти к расчету реакции интерферометра^ на действие гравитационного излучения, выберем геометрию опыта, показанную на рис. 8.1. Пусть плечи интерферометра Май-кельсона лежат в плоскости ху и направлены по линиям координатных осей (одно плечо расположено в области положительных значений у>0, другое — в области отрицательных значений *<0)в Пусть также направление падения гравитационной волны произвольно и ее волновой вектор составляет угол 9 с осью z и угол ф
210І с осью х; координаты волнового вектора гравитационной волны п равны
^a = (l,sin(psin0, —cos ф sin б, cos 0). (8.5)
с с
Если бы волна падала вдоль оси z, отличными от нуля были бы лишь три компоненты метрики: Ли, Zi22, ^12. При произвольном направлении волны метрика выглядит более сложно. Представляя волну как сумму двух независимых поляризаций
(h+ — ^n — ^22» ^x- h2i — Л12) (8 6)
Къ = Л+ (HaXa) fa? + h
для матриц fa?, Sa? можно получить следующие выражения. Вычисление СВОДИТСЯ К расчету НОВЫХ компонент метрики ga? при
Рис. 8.1. Интерферометр Майкельсона в поле гравитационной
волны
повороте осей координат на углы 9, ср (рис. 8.1); выпишем результат:
О О
О COS2 ф — COS2 0 si П2 ф
О (1 +COS2 0) sin ф COS ф
О sin 0 cos 9 sin ф
^a 0 :
sin2 ф
о
О О О
О
—sin 2ф cos0 cos 2ф cos 0 cos ф sin 0
О О
(1 +cos20)sn^ sin0 sin0cos0sinф cos2 0 cos2 ф — sin 0 cos9 cosф sin 0 COS 0 COS ф —sin2 0
(8.7)
O
COS ф sin 0 sin ф sin 0 O
O
cos 2ф cos 0 sin 2ф cos 0 sin ф sin 0
211І В дальнейшем для упрощения вычислений будем учитывать только одну возможную поляризацию /ia? = /i+fa?.
Рассмотрим вначале одно плечо интерферометра, например лежащее на оси у (рис. 8.1). Подсчитаем изменение волнового вектора электромагнитной волны, посланной из начала координат и вернувшейся туда же после отражения от зеркала, расположенного в точке на оси у.
Используя общую формулу (8.3), запишем результат вычисления вектора ka(l) в точке р = 1 для фотона, пришедшего из точки у = 0:
К (0 = + № (0) + Y (XnJv) [h (vi + I)-h О]; (8.8)
здесь для сокращения записи мы ввели обозначения
T=npjxofw, v = nana, I = OuXa(O).
Постоянную интегрирования ^aW(O) можно найти из условия нормировки
kaka=0, (8.9)
которое фиксирует скорость распространения фотонов, равную с. Удерживая при подсчете (8.9) только первый порядок по амплитуде волны А, легко найти
)=-\-na(xlv)h(l). (8.10)
После подстановки (8.10) в (8.8) получаем
К(I) = Па + Y h (V/ + Tta (T/v). (8.11)
Возвращение фотона назад в исходную точку (после отражения от зеркала у = 1) вызывает дополнительное изменение ka, которое представляется формулой, аналогичной (8.11), с той разницей, что яа должно быть заменено на яа, отвечающее обратному направлению распространения фотона (соответственно все комбинации, содержащие яа, будем отмечать чертой сверху: х% v), изменяется также начало отсчета Учитывая эти
