Гравитационные волны в ОТО и проблема их обнаружения - Бичак И.
Скачать (прямая ссылка):
(7.25)
Л + 26ец+ co2rj—=M2eVe it),
но с переменными во времени коэффициентами за счет т)н(0-
Накачка параметрического преобразователя является источником энергии для усиления полезного сигнала и определяет коэффициент связи датчика с гравитационным детектором XCq2. Сигнальную информацию несут комбинационные компоненты, содержащиеся в г). Оставляя в стороне вопрос о способе выделения
187І этих компонент, можно рассчитать отношение (сигнал/шум) для переменной Т] с помощью системы (7.25). С этой целью удобно-представить ц и ve(t) в «узкополосной форме» (основанием служит достаточно большая величина добротности контура датчика Qe>l):
ц = a (t) cos (Онt+b (t) sin (Онt,
Ve = Vc cos <oJ + Vs sin a>Hf, (7.26)
a(t)> b(t) и — медленные функции по сравнению с темпом колебаний на частоте (Он~(Об>; ис, Vs — независимые случайные процессы с равномерной спектральной интенсивностью Se = N1eIVо2 в полосе от 0 до (оь — тах (бе, (oj.
Подстановка (7.26) в (7.25) и выполнение обычной для «метода медленно меняющихся амплитуд» процедуры усреднения приводят к «укороченным уравнениям» в виде системы обыкновенных линейных дифференциальных уравнений
1+ 2б^+(о2Д-(о2^Ла- ^lKBb=ColUll +fe(t)]9
- M + Ab =j^vsy (7.27)
Решение этой системы уже не представляет труда. Выпишем результат для спектральной плотности флуктуаций <т]2((о)> и. сигнальной составляющей (т]с((о))2 (угловые скобки <> — знак, статистического усреднения):
(л2 И> = -^r {2 (со? Q2)2 [(Q-Д)2 + 6? + + o>eai (?4- Q2) (Q-A) KC20 + ("^)'
1 ^(u>) |2 = I^F Kq-c° I f 12 '
(7.28)
Det (/(D) = (©?— о)2) (б2,+ А2—(о2 + 2/6,(0)-A-^- e&Ck
Q=co—(он; А = юе—coH; Ne = SvTeLbe.
Далее обычным образом можно рассчитать отношение (сигнал/шум) {і на выходе оптимального фильтра:
,»«-Lf -J^MiX (7.29)
^ я J <т]2 (ш)> '
— OO
188І полагая, что сигнал fc(t) — короткий цуг внешней силы с несущей частотой COfi и длительностью т. Уже из формул для сигнальной и флуктуационной компонент ті (со) (7.28) видно, что существует оптимум по амплитуде вынужденных колебаний (Co=UofVo). Интеграл (7.29) достаточно оценить приближенно и, полагая jut= 1, найти экстремальную амплитуду накачки и соответствующую минимальную регистрируемую силу, с точностью до небольших численных множителей это будут формулы (7.22).
Таким образом, казалось бы желаемый учет спектральной окраски шума датчика (7.28) не принес какого-либо улучшения чувствительности. Причина заключается в том, что выбор наблюдаемой переменной датчика ті не был результатом какой-либо оптимизации и поэтому может быть неудачным.
Рассмотрим общую задачу фильтрации сигнала на выходе системы, заданной уравнениями (7.23). Оптимальная обработка в данном случае должна сводиться к «обеляющему» и согласованному фильтрам, нелинейным в силу нелинейности самих уравнений [208]. Для определения вида фильтров из первого уравнения. (7.23) найдем (полагаем начальные условия нулевыми)
t
? = + ^i2IdT, Hll (t) -CO-1^rVsin ay,
о
и, подставляя ? во второе уравнение (7.23), получим
і
ті + 26ег) +Co2eTi- [(O2X J Iivi (t—т) Vpdn^ Л =
(7.30)
і
= CO2 (о (t) + Ve (t) + CO2TI J Ali (t —і) Ull (т) + / (T)] di = сO2eZ (t).
о
Левая часть (7.30) определяет вид нелинейного обеляющего фильтра: напряжение, снимаемое с емкости датчика, проходит через обеляющий контур, затем из него вычитается нелинейная функция т), для формирования которой необходимы значения х\9 по крайней мере на интервале (t—т, t) (последняя операция компенсирует избыточный шум «обратного влияния»). Далее из переменной z(t) следует вычесть накачку U(t) и поставить фильтр, согласованный с сигналом вида
t
jM*—т)/(т)dx-
о
При /ц=0 отношение (сигнал/шум) составит \X2=VoEjNe, где для короткого цуга т<Стц* величина E определяется как
189І T t
J [со2 T] j Iivi (t-x) f (t) dx ]2 dt A (C20 т/2) (F.x?m^dy
|2 =
O
O
== (Cqt/2) (xfd)2.
Используя Arie в форме Ые = 8кТе/а)еЯеС = 8кТеГ, получаем
(7.31а)
Полагая р,= 1 и учитывая формулу (7.22), определяющую (^o) opt, окончательно находим для максимально достижимой чувствительности
Цели т<т<?*, то (Fo)min следует уменьшить на фактор (т/т<?*),/2. Результат (7.31) фильтрации по оптимальному алгоритму (7.30) демонстрирует возможность в принципе неограниченного роста чувствительности на фоне шума датчика при увеличении накачки за значение (?/0) opt, оптимальное по критерию обратного влияния. «Наблюдаемая переменная», определенная левой частью уравнения (7.30), получается обработкой переменной rj, которая приводит «назад» — «ко входу» измерительной системы, заданной структурой гравантенны (рис. 7.2).
Отношение (сигнал/шум) (7.30*) фактически есть результат сравнения эквивалентных ЭДС, действующих в контуре датчика: сигнальной (Uox/d) и флуктуационной (4кТегх~1).
Очевидно, что буквальное исполнение алгоритма (7.30), если не невозможно, то по крайней мере технически затруднительно. Смысл проведенных выкладок (7.30), (7.31) состоит, однако, в том, что они указывают на существование в принципе более совершенной операции выделения сигнала, нежели измерение ц (7.28) с ограниченной чувствительностью (7.22). Естественно попытаться отыскать практически осуществимые квазиоптимальные алгоритмы, дающие результаты, близкие к (7.31).
