Гравитационные волны в ОТО и проблема их обнаружения - Бичак И.
Скачать (прямая ссылка):
замечания, имеем
ka (21) =па + Л [(v + v) Z + ?] яа (t/v) . (8 Л 2)
Из (8.11) и (8.12) можно найти изменение частоты фотона Sk0 в результате путешествия «туда и обратно»:
О),
212І
^ - 6?0 = [k, (l)-k, (0)] + Ik0 (2l)-k0 (/)]. (8.13) Для простой конфигурации ср=0, л^=(1, 0, 1, 0) (волновой вектор гравитационной волны лежит в плоскости yz) из (8.13) с учетом (8.5), (8.7) получаем
Ь(де
со, 2
— (1 +sin 0)/1(0-sin6A[f+(l — sin 6)-J-
2
_ ±(i_sine)A(f+T), (8.14)
где Г=2//с. Формула (8.14) дает нетривиальную картину взаимодействия фотонов интерферометра с гравитационным излучением (впервые (8.14) получена в работе [248] с помощью формализма векторов Киллинга). Основная особенность (8.14) заключена в зависимости частотного сдвига бсое/сое от интенсивности гравитационной волны в три различных момента времени: момент появления фронта гравитационной волны в точке старта фотона на первом зеркале, момент прихода фотона, отраженного от второго зеркала при взаимодействии последнего с фронтом волны, и, наконец, момент возвращения фотона, ушедшего с первого зеркала еще при действии гравитационной волны на нем. Для короткого всплеска т<С//с структура обеспечивает троекратное повторение его формы в частотном сдвиге при непрерывном потоке фотонов между зеркалами. Этот результат допускает наглядную интерпретацию, если учесть, что релятивистский сдвиг частоты пропорционален разности потенциалов ~h между точками испускания и приема фотона.
Действительно, падение гравитационного всплеска на первое зеркало, t\=—2Цеу создает разность потенциалов зеркал, и наблюдатель регистрирует смещение частоты Асо/сo~h(t—/і) источника по отношению к приходящим фотонам (ушедшим со второго зеркала раньше на время At=Ifc). Когда гравитационный импульс покинет первое зеркало, разность потенциалов исчезнет и сдвиг частоты обратится в ноль. Затем, спустя время At= = IsinQIcy гравитационная волна достигнет второго зеркала, опять возникает разность потенциалов (обратного знака), но зарегистрирована она будет только после того, как отраженный фотон вернется к первому зеркалу, а именно в момент t2=—(1 — — sin 9) Ic. Наконец, в третий раз частотный сдвиг будет наблюдаться в момент tз=0, когда на первое зеркало возвратится фотон, ушедший еще во время начального воздействия гравитационного излучения. В последнем случае точки пуска и приема совпадают, а разность потенциалов между ними есть следствие разновременности моментов излучения и возврата фотона.
Ясно, что аналогичные особенности должны возникнуть при наблюдении фазового сдвига. Для вычисления последнего интегрируем формулы (8.10) и (8.11) в соответствии с (8.4). Это дает
213І CD і - Ll -
At|) = (2/)—if(O) = — (i/2)с [r J (A0(ffl)/<a)e e (e c—l)<fo +
, w r . (D -, I- g І —IVl
+ T J (A0 (co)/co)e c (e c — l)Ao. (8.15)
— oo
Здесь использовано фурье-представление функции h(naxa)
. со Ct
со і — па*
A (HaXa) = J A0 (со) * ' dco. (8.16)
Формулы (8.15), (8.16) дают все необходимое для последующего вычисления реакции интерферометров Майкельсона и Фабри—Перо на гравитационное излучение заданной формы.
§ 8.2. ИНТЕРФЕРОМЕТР МАЙКЕЛЬСОНА В ПОЛЕ ГРАВИТАЦИОННОЙ ВОЛНЫ
Вернемся к анализу интерферометра Майкельсона, лежащего в плоскости ху с центром в начале координат и плечами в направлении *<0 и у>0 (рис. 8.1). Гравитационный волновой вектор задан формулой (8.5).
1. Пусть гравитационная волна имеет форму гармонического сигнала A=Aoexp (mgn^x^jc). В этом случае в (8.16) следует подставить A0(со) =Ао6(со— й). Вычислив фазовый сдвиг по (8.15) отдельно для плеч у и Xf получим для безразмерной разности фаз:
А*= -Т-Г-— Iм(2/ + S) +Bh(v/ + ®~Ch(v^ + 9 -DhО],
Z Ke (Uff
(8.17)
где коэффициенты Af B9 Cf D в соответствии с угловой матрицей (8.7) определяются следующими формулами:
^J_ JT___Xj^_ Sin2 ф — COS2 8 COS2 ф COS2 ф — COS2 8 Sin2 ф
V Vjl 1 +sin 8 COS 8 1+sin 6 Sin ф
Б X X о . A Sin2 ф — COS2 8 COS2 ф
=---=- = 2 sin 0 cos ф---—,
VV 1 — Sin2 6 COS2 ф
C- —---^=-= —2sin8cosy ^os*ф cos29sin2ф t
VJ_ Vjl 1—Sin2 8 COS2 ф
jj_ Jt__Tx _ sin2 ф — cos2 Q cos2 ф cos2 ф — cos2 8 sin2 ф
V v. 1—sin 8 cos 8 1 — sin 0 sin ф
(8.18)
214І (безындексные параметры т, v, т, v относятся к фотонам, бегущим в положительном и отрицательном направлениях оси у, параметры с индексом Tj_, v_l, t_l, Vjl—к фотонам, бегущим соответственно в отрицательном и положительном направлениях оси х)* Результирующая интенсивность J на выходе интерферометра зависит от интенсивности лучей в плечах Jx=Jy=J0 и разности фаз между ними: / = 4/0cos6. Очевидно, что действие гравитационной волны будет эффектом первого порядка лишь в присутствии постоянного сдвига б = бо+Аг|); при оптимальном сдвиге бо=я/4 сигнал на выходе ФЭУ, принимающего лучи с интерферометра,, пропорционален / = 2/0 — 4/0Дг|).
Зависимость амплитуды полезного сигнала от направления гравитационной волны удобно представить в двух характерных сечениях:
9=0, Аф=—.-^-со82ф[А(2/ + 9 —A(6)];
