Гравитационные волны в ОТО и проблема их обнаружения - Бичак И.
Скачать (прямая ссылка):
Как и для электромагнитной волны, распространяющейся вдоль оси Z1 для которой мы можем векторное поле E = {ЕХ> Eyy 0) представить в виде суммы двух линейно поляризованных волн, т. е. E=E1H-E2, где Ei= (ЕХу 0 ,0), E2= (0, ЕУі 0), тензорное поле можно записать в виде
hw=h+»v+hXilVf (2.81)
где ненулевые компоненты h+iXV лишь hxx=—hyy (2.79), а ненулевые компоненты Zixnv только hxy=hyx (2.80). Уравнение (2.81) представляет собой разложение гравитационной волны на две независимые линейно поляризованные волны. Аналогично введению единичных векторов линейных поляризаций электромагнитной волны Є!Є2, 2=^41,2 ехр [— i(o(t—2)]еь2, И ЗДЄСЬ В ПРОИЗВОЛЬНЫХ КООр-
динатах можно ввести тензоры линейных поляризаций
Kx=-hyy = hxy=Axe-^-z).
(2.79)
(2.80)
Є+Ц={Єі)і{Єі)і-{Є2)і{Є2)і, єхіі= (єі)і(є2)і+{єі)і(є2)і,
(2.82)
74 где еь е2 — единичные ортогональные векторы, перпендикулярные направлению n=k/co распространения волны. При этом две независимые линейно поляризованные волны можно записать в виде
A+i/ = A+e-W-™) e+tj9 (2.83)
hxti = AxerW-**extJ (2.84)
Если положить ej= (1, 0, 0), е2=(0, 1,0), п=(0, 0, 1), то получим (2.79), (2.80).
В электродинамике бывают ситуации, когда выгодно разложить волну на две волны с круговой поляризацией с_помощью двух единичных векторов е^= (1/1/2) (C1+^), eL = (1/ (ех—te2), соответствующих правому и левому вращению вектора поляризации. В случае гравитационной волны используются единичные тензоры круговой поляризации
^Rii=-^=г{е+іі+іехіі), eLij = y=-(e+ii—iexii). (2.85)
Обратимся вновь к воздействию волны на пробные частицы. Электромагнитная волна с линейной поляризацией Єї (и соответственно Є2) вызывает гармонические колебания заряженной частицы в направлении Єї (или е2). Как действует на пробные частицы Гравитационная волна с линейной поляризацией е+? Пусть в момент т=0 пробные частицы располагаются в виде кольца, в центре которого находится опорная (референтная) частица, покоящаяся в начале ЛИСО. Положение частиц в ЛИСО в любой момент времени определено (2.76). Обозначая декартовы координаты ЛИСО X9 у, Z9 получаем положение пробной частицы в момент т:
Ax (т) =[1 + lUhxx (т) ]Д2«», А у (т) =El-V2A^ (т) ]Ау0, (2.86)
где Д?(о)=а cos ф, Ay(Q)=Ci sin ф — координаты в момент т=0, когда частицы расположены по окружности радиуса а (рис. 2.1). Подставляя ДJC(O) и Atj(Q) В (2.86) И выделяя COS ф И БІПф, видим, что условие cos2 ф4~зіп2 ф— 1 дает
(__I2 + (--Г = 1, (2.87)
1 all +^hxx(X)] I 1 a [I-V2Hxx(X)] j
т. е. уравнение эллипса с полуосями a[l± 1A^** (т)]. В начале ЛИСО не только х=у=Z=O9 но также x=y=z=0 и t=x+0(h). Следовательно (см. (2.79)),
hXx (т) = Re {А+е~Шх} = (Re Л+) cos сот—(Im Л+) sin сот.
Предположим, что Re Л+=0, -Im А+=А; это предположение согласуется с тем, что hxx=0 в момент t==o и частицы лежат на окружности с радиусом а. Полуоси эллипса, на котором находятся частицы в произвольный момент т, даются выражениями
Olli1M sin ©т]. (2.88)
74 Под действием гравитационной волны окружность переходит в эллипс, вытянутый вдоль оси Xf затем опять в окружность, потом в эллипс, вытянутый вдоль оси у, как показано на рис. 2.1, и т. д.
Подобная же деформация кольца частиц происходит под действием волны с поляризацией ех, когда ненулевой является только Iixy (2.80). Картину, отвечающую поляризации е+, надо при этом повернуть на 45° (в отличие от электродинамики, где независимые поляризации повернуты на 90°) (рис. 2.2).
Рис. 2.1. Действие гравитационной волны на кольцо из пробных частиц:
поляризация е+
ляризация е у
75 Точно так же можно исследовать воздействие на пробные частицы волн с круговыми поляризациями (2.85).При этом пробцые частицы будут находиться на эллипсах, вращающихся вправо или влево в соответствии с направлением вращения круговой поляризации. Подробнее обсуждение воздействия гравитационных волн на частицы можно найти в обзоре [14].
Описанное выше воздействие гравитационных волн на пробные частицы позволяет легко понять, почему спиральность волн равна ±2.
Вообще, для плоских волн поля ф с нулевой массой покоя спиральность S определяется преобразованием волн при пространственных поворотах на угол 9 в плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны, согласно выражениям ф'= =^seIl). На рис. 2.1 и 2.2 ничего не изменится при повороте на угол ±я, так что для гравитационных волн h=± 2. Тот же результат получим, если математически выполним соответствующие повороты. В самом деле, в кц преобразуются только е+ц и ехц. После поворота на угол 9 имеем
/^^coso + ^sino, е2 = —^1Sinfl-Ke2 cos 8, е+*/ =
= e+l/cos29 + eXi/sin20, eXij= —e+?/sin29 + eXl/cos29,
так что действительно e'+if = e+ijt eXij=exii для 9 = ± я.
В заключение обсудим эффективный тензор энергии-импульса гравитационных волн. Подробное изучение этого тензора будет проведено в гл. 4, где мы будем исследовать распространение волн в искривленном фоновом пространстве-времени и покажем, что в приближении высоких частот (длин волн, малых по сравнению с характерной длиной изменения кривизны фонового пространства-времени) после соответствующего усреднения энергия-импульс самих волн дает вклад в кривизну фона. Если фон — плоское пространство-время (как в линеаризованной теории), то эффективцый тензор энергии-импульса дается выражением
