Гравитационные волны в ОТО и проблема их обнаружения - Бичак И.
Скачать (прямая ссылка):
В заключение кратко рассмотрим три элементарных примера источников гравитационных волн — квадрупольный осциллятор, двойную звезду и вращающийся стержень, которые часто анализируются в литературе.
1. Квадрупольный осциллятор. Пусть две частицы с одинаковыми массами m соединены пружиной длиной /, которая расположена вдоль оси Z так, что ее центр находится в начале координат. В состоянии равновесия координаты частиц Z\=—l!2 и Z2= = //2. Предполагаем, что частицы колеблются вокруг этих положений с частотой со и амплитудой А: 2i/2==F//2=fA cos со/. Тогда единственная ненулевая компонента второго момента Uk (см. (2.41)) (с точностью до постоянного слагаемого, которое в гравитационном излучении роли не играет) есть
Izz = mz\ + mz\ = 2т/Л cos со* + тА2 cos 2со/. (2.102)
Отсюда тензор квадрупольного момента Dik=31ik—Oiklss имеет единственные ненулевые компоненты
Dzz=2Iz2i Dxx=Dyg = -Izzy D = Dxx+Dyy+DzZ = 0. (2.103)
Гравитационное излучение такого источника в любом направлении на больших расстояниях можно найти с помощью (2.95), (2.96), подставив туда Рц из (2.94). В сферических координатах
Hi=XiIr= (cos ф sin 0, sincpsinB, cos0). (2.104)
Запишем поле излучения в некоторых направлениях. По оси z
79 rii== (О, О, 1) и с помощью (2.103) легко обнаруживаем, что поля излучения нет: hTJ (t, х = у = 0) =0. Поэтому осциллятор не излучает вдоль направления своего расположения. По оси х щ=
= (1, О, 0) и D1yT — DtzJ = -- /22, DJJ = DJJ = DJJ = 0, так
что из (2.95) следует, что единственными ненулевыми компонентами будут
Kl = -hH =--Г • (2-105>
Следовательно, гравитационная волна, излучаемая осциллятором перпендикулярно своей длине, является линейной поляризованной и эллипс пробных частиц (см. рис. 2.1) вытянут вдоль осциллятора. Подставляя Izz из (2.102), находим
^TT = = 2с0*тА [I cos со (t—г) + 2A cos 2со (t — r)] -L. (2.106)
Поток энергии в направлении радиуса-вектора, т. е. фактически диаграмму направленности источника найдем из (2.99):
y==-iir-<7»>&inte- (2л07)
Вследствие осевой симметрии задачи диаграмма направленности зависит только от угла 0. После усреднения по периоду источника найдем
J= [Ш2Л2 (/2 + 16Л2)] sin4 0 (2. 108)
Отсюда интегрированием по сфере радиуса г (или прямой подстановкой в (2.101)) получаем полную мощность гравитационного излучения L= (4/15)т2А2(Z2+16Л2)со6. В реальной ситуации так что
Ltt (4/15)т2Л2Z2Co6. (2.109)
Этот безразмерный в геометризованных единицах результат в обычных единицах запишется как
L (обыч. ед.) = — L (геом. ед.), (2.110)
G
откуда (после подстановки m->Gm/c2,co->co/c, A-+A9 Z->Z) получа-W2A2I2 со6. (2.111)
ем
L =
15С5
Для сравнения с формулой излучения электромагнитного диполя (2.111) можно переписать в виде L=Ji2^ ^0Jn^—а2 ^-^-j2=
SO = І*дип ^-j^y. Здесь роль заряда играет YGm, а=Асо2. Множитель в квадратной скобке аналогичен выражению для дипольного излучения в электродинамике, с той лишь разницей, что эффект ослаблен константой взаимодействия G. Параметр (IjX) С1 еще больше снижает интенсивность излучения, подчеркивая слабость квадрупольного генератора гравитационных волн в этом нерелятивистском случае, когда 1 и г/<с (см. условия (2.29)).
Например, для т= 1 т, Z=I м, со= 10 кГц (значения, типичные для цилиндров Вебера (см. гл. 6)) и для Л=0,1 мм получаем LaIO-31 Вт, что ничтожно мало.
Более интересны астрофизические источники.
2. Двойная звезда. Рассмотрим две звезды одинаковой массы т, движущиеся по окружности радиуса а/2 (расстояние между звездами равно а). Пусть эта орбита находится в плоскости (х, у) с центром в начале координат, так что координаты звезд Х\= = (а/2)coscot, X2=-Xu у\= (а/2)sinсо^, У2=—У\- Ненулевые компоненты Iij (с точностью до постоянных слагаемых) таковы: Ixx= =lUma2 cos 2(ot=—Iyy, Ixy=lUma2 sin 2со?, ненулевые компоненты Dik таковы: Dxx = Dyy=3Uma2 cos 2соt, Dxy=3Utna2 sin 2cot. Как и в предыдущем случае, определим поле излучения в направлении оси г (рассматриваем только вещественные части решения):
hll = -hIy = — 2ma2co2e~2iu){f~r) г~\ КЦ = —Ih7Ji (2.112)
в то время как в направлении оси х
К™ = —hll = Y та2(о2е-2Ш^ г~К (2.113)
(Эти результаты подтверждают наши оценки (2.3).)
Следовательно, гравитационное излучение двойной звездной системы имеет частоту, равную двойной орбитальной частоте системы. Сравнение с (2.79) и (2.85) показывает, что перпендикулярно орбитальной плоскости изучается гравитационная волна с круговой поляризацией, тогда как в плоскости орбиты — поляризованная линейно. Из (2.99) можно получить диаграмму направленности гравитационного излучения двойной звезды. Мы же здесь приведем лишь общую мощность излучения (2.101) (после усреднения по T=2я/со) в обычных единицах:
L=—m2ahо6. (2.114)
5с5 v '
Предположим, что обращение звезд друг вокруг друга обусловлено их взаимным притяжением. Тогда их ньютоновская орбита дается уравнением Gm2/a2=mco2a/2, так что
со= (2Gm/a3) ^2, a= (2Gm/co2)1/3. (2.115)
Как мы уже отмечали в начале главы, в линеаризованной теории обычно используется ньютоновский подход к расчету орбитг
