Гравитационные волны в ОТО и проблема их обнаружения - Бичак И.
Скачать (прямая ссылка):
§ 2.4. ФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ПЛОСКИХ ВОЛН
Гравитационное излучение изолированной системы тел на больших расстояниях от нее будет локально иметь характер плоской волны. Волны, генерируемые космическими источниками на Земле с высокой степенью точности могут рассматриваться как слабые плоские волны.
Рассмотрим гравитационную волну, не обязательно плоскую, в 7Т-калибровке, так что линейный элемент имеет вид
ds2=- (dx°)2+ (oij+hij) dxldxL
Индекс TT в этом параграфе опустим, однако условия (2.65) предполагаем выполненными.
Пусть две свободные пробные частицы покоились в координатах Xv- до прихода волны, т. е. когда А;/=0. Без потери общности можно считать координаты первой частицы яг'=0, а координаты второй частицы равными Axi. Поскольку метрика в 7Т-калибров-ке имеет компоненты ?00=-1, go;=0, получаем Tqo = O (см. (1.7)). Решением уравнения геодезической (1.3) тогда будут произвольные постоянные Xі; X0 — собственное время частицы с Xi= =const. Если пробные частицы покоились в системе координат Xi9 они будут покоиться относительно нее и во время прохождения волны и после него: координаты первой частицы будут Xi=O9 второй — Axi (система координат сопутствует частицам). Это, однако, не означает, что измеренное в лаборатории физическое расстояние между частицами не меняется. Пространственное физическое расстояние между частицами в данный момент X0 есть [(бгу+Агу) AxiAxi]112.
Влияние произвольного поля тяготения на близкие свободно падающие частицы легче всего обнаружить с помощью уравнения отклонения геодезических (см. § 1.4). Здесь мы рассмотрим дру* гой подход. Свяжем с первой частицей ЛИСО, координаты кото-
71 рой обозначим х». Пусть эта частица находится в начале ЛИСО, т. е. ее мировая линия описывается выражением ^i = O (в исходной глобальной системе отсчета также я'—О). При этом собственное время частицы х°=х°. Локальный переход от x? к х" (с точностью до величин, квадратичных по х1 и кц) задается выражениями
1 dhij
XP=Jfi+---
4 дх?
XiXiy Xi=Xi-]--hif
xk=o 2
Xk=O
Х>\
с обратным преобразованием
1 дк
ч
4
1
_ XiXiy Xi=Xi--hi Л Xjy
[Xk=0 2 Ilck=O
(2.74)
(2.75)
где мы заменили (с точностью до членов первого порядка по Нц) х° на х°. Прямым дифференцированием (2.74) или по общим соотношениям для калибровочного преобразования (2.16), (2.17)
4
XiXi9 Ii= - hi;
Xk=O 2 '
Xr=O
Xі можно легко убедиться,
что (2.75) переведет (2.73) в
ds2 = — (dx0)2 + б і JdxiCixi + О (I? 12) tadx*,
т. е. в метрику ЛИСО (ср. с метрикой (1.72), в которой щ=со*-= =0, Xi-^Xi). Если наблюдатель, связанный с первой частицей, измерит координаты и ускорения второй частицы, он обнаружит, что в ЛИСО в любой момент х°=г координаты второй частицы
Д? = + -J Мт) 1
Axj-
(0),
(2.76)
где постоянные Axi заменены Ах(0)у т. е. «начальными» координатами второй частицы в ЛИСО до прихода гравитационной волны. Следовательно, ускорение второй частицы относительно первой
Cl2Axi
1 d2ht
ч
dx2
дх2
(2.77)
Поскольку т=t+0(h)y где t — время в исходной системе координат 7Т-калибровки, можно заменить т на t и вследствие (2.67) переписать (2.77) в виде
d2Axi dx2
—RtofiA*'.
(2.78)
Здесь мы использовали калибровочную инвариантность тензора Римана, и, поскольку R~0(h) и Ах{0)=АXі+ O(Ii)y вновь можно заменить Ах{о) на Axiy получив, таким образом, уравнение движения второй частицы в координатах ЛИСО первой частицы. Но уравнение (2.78) является не чем иным, как уравнением от-
72 клонения геодезических (1.104) или (1.102), где т,
RiOiO-^RiOjOy поскольку в начале ЛИСО так что тетрад-
ные и координатные компоненты совпадают.
Рассмотрим теперь плоскую гармоническую гравитационную волну, распространяющуюся в направлении n;=?//co, записанную в 7Т-калибровке кц=Ац exp(ikax°). В 7Т-калибровке Iiijkj=O и волна никак не будет влиять на взаимные расстояния пробных частиц в направлении распространения волны, т. е. в (2.76) — так что в любой момент времени действительно = Следовательно, плоская гравитационная волна яв-
ляется поперечной, подобно плоской электромагнитной волне. В следующей главе мы покажем, что и в точной теории Эйнштейна плоская гравитационная волна является поперечной.
Рассмотрим теперь поляризацию плоских волн. Поскольку из (2.76) и из Hijkj=O следует [Ax1—Ах|0)]&* = 0, так что положение второй частицы относительно первой может меняться только в направлении, перпендикулярном направлению распространения волны, достаточно исследовать воздействие волны, например, на кольцо из пробных частиц, плоскость которого перпендикулярна направлению распространения волны.
Пусть волна распространяется в направлении оси х3=г. Ее волновой вектор имеет компоненты (со, 0, 0, со) (см. (2.58)). Из условий IioiX=Iiijkj=Iikk=O следует, что ненулевыми компонентами являются только hxxy Iiyy=-Iixxi hxy. Волна описана именно двумя независимыми компонентами, соответствующими двум степеням свободы — двум независимым состояниям поляризации. Обозначим соответствующие независимые постоянные амплитуды через А+ и Лх, так что
