Гравитационные волны в ОТО и проблема их обнаружения - Бичак И.
Скачать (прямая ссылка):
ds2
2M , 2M2
О
+ 1 +
2М
3 M2
2 г3
+ 0
^2 + (dx2 + dy2 + dz2).
(2.48)
Из сравнения (2.47) и (2.48) видно, что нелинейный характер точной теории проявляется уже в члене ~г~2, который убывает медленнее, чем статическая часть в (2.47) (—г-3).
Член goi=—(2XkIr3) EijkS59 обусловленный внутренним моментом импульса источника, описывает типичный релятивистский эффект, так называемое увлечение локальной инерциальной системы отсчета. С членом такого типа мы уже встречались, когда исследовали метрику (1.72) в окрестности мировой линии наблюдателя, с которым связана тройка векторов, вращающаяся (по отношению к ЛИСО) с угловой скоростью со*. Факт, что goi в (2.47) имеет ту же самую структуру, означает, что наблюдатель, который покоится по отношению к системе координат Xi9 использованной в (2.47), (т. е. покоится «относительно далеких неподвижных (относительно Xі) звезд»), вращается относительно ЛИСО.
Члены, зависящие от квадрупольного момента источника Dih9 являются самыми важными при расчете гравитационного излучения. Если Dik^0, метрика (2.47) содержит зависящие от времени члены, убывающие как 1/г; очевидно, что они будут вносить вклад в поток энергии через сферическую поверхность произвольно большого радиуса. Таким образом, здесь подтверждается гипотеза, высказанная в начале этой главы, о том, что гравитационное излучение островной системы тел имеет квадру-
64 яольный характер, т. е. квадруполь является низшим мультиполем, способным генерировать гравитационные волны. Дипольного и монопольного гравитационного излучения не существует. Ди-польный гравитационный момент можно было сделать равным нулю соответствующим выбором начала координат благодаря закону сохранения импульса. Члены в (2.47), зависящие от производных квадрупольного момента, подтверждают нашу предварительную оценку (2.3).
Масса М, фигурирующая в метрике (2.47) и влияющая на движение пробных частиц вне этой системы масс, обычно называется активной гравитационной массой. Какова же будет полная инертная энергия-масса, которую можно рассчитать с до-мощью интегралов от комплекса энергии-импульса, т. е. с помощью (1.125), и каков будет момент импульса, вычисленный согласно (1.131)?
Для расчета этих величин используем метрику (2.47), опуская члены, описывающие гравитационное излучение, т. е. предполагая, что асимптотически поле является стационарным. Это не означает, конечно, что система не может излучать, однако мы можем выбрать такое расстояние г, на которое излучение еще не дошло. Для такого г вычислим поверхностные интегралы (1.125), {1.131). Посколькув линеаризованной теории Y—ёg*™ =Vfiv—YfivT величины (1.115) имеют вид
J^lIV1Kyi ^_Yinivy^x_x\kKyixv YjMXyVX -{- г^хуМ^, (2.49)
<а суперпотенциал (1.114) запишется как
С помощью этих выражений, используя ^v из (2.46) (с Dij=O), поднимая индексы с помощью плоской метрики, прямым вычислением найдем, что интегралы (1.125) и (1.131) дают
Полная (инертная) энергия-масса и полный момент импульса изолированной системы тогда будут равны (гравитационной) массе-энергии и моменту импульса, измеренным из асимптотического вида метрики (2.47); Pw=Z0w=O вследствие выбора системы координат.
Если мы учтем потоки энергии-импульса через сферическую поверхность в асимптотически плоской области, то пренебрегать излучающими членами нельзя. Поскольку этот поток содержит члены второго порядка по Zifiv, нельзя исходить из выражения для //HvXx (2.49), которое получено в линейном приближении. Для вычисления потока излучения следует исходить прямо из выражения t^v (1.116), которое квадратично по производным Zitiv,*. Скорости излучения 4-импульса и момента импульса найдем из (1.120) и
ъ _ rfYx
ЛХ IAV
(2.50)
Pm=O, P4 = M = (-PaP0)'/2,
JOm _ Qj Jlm=elmnS^
(2.51)
3 И. Бичак, В. Н. Руденко
65 соответственно (1.132). Легко убедиться, что при больших г в полный поток (1.120) дают вклад только те члены из (2.46), которые зависят от вторых производных квадрупольного момента (т. е. пропорциональные г-1), так что в ^ftv достаточно рассматривать
г Yon-^"Dni, уп«~Л-0тп. (2.52)
После вычисления найдем, что dPm/dt=0, т. е. система, как мы могли ожидать, импульса не излучает. Напротив, мощность квадрупольного гравитационного излучения (1.127) в размерных единицах есть
STA-O- <2-53>
Для скорости убывания момента импульса вычисления дают (см., напр., [2])
dJim 2 G .....
- — =«5-(2-54)
(Более подробно обсуждение «квадрупольной формулы» (2.53) будет приведено в § 4.1.) *
Перейдем теперь к анализу свойств плоских гравитационных волн. По аналогии с электродинамикой естественно ожидать, что излучение вдали от изолированной системы тел будет локально иметь характер плоской волны.
§ 2.3. ПЛОСКИЕ ГРАВИТАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ В ЛИНЕАРИЗОВАННОЙ ТЕОРИИ
Слабое гравитационное поле в вакууме (Tfiv=O) удовлетворяет согласно (2.24) волновому уравнению
? Yuv=0, (2.55)
где Yfiv подчиняется калибровочным условиям (2.22). Так же, как и в электродинамике, самым простым решением (2.55) является гармоническая волна, которую запишем в следующем общем виде:
