Гравитационные волны в ОТО и проблема их обнаружения - Бичак И.
Скачать (прямая ссылка):
ным выражением придем к
(2.35)
Plm—Pml =Szm = COnst.
(2.36)
Nik=-V2 (Pik+Pki).
(2.37)
Если теперь умножить закон сохранения T0Q + Toij = 0 (2.13) на х^х\ аналогичным способом получим
Uk=-(Pm +Рм) S
что вместе с (2.37) приводит к
Nik=V2Iik.
(2.38)
(2.39)
6Г Наконец, из (2.36) и (2.38) получим
Pik-Ъ (Pik+Pik) + V2 (Pik-Pki) =-1/2 (Iik-Sik). (2.40)
Из (2.36), (2.39) и (2.40) видно, что величины Pik и Nik можно выразить с помощью второго момента массы
Iik=ST00XfiX'Wx' (2.41)
и постоянного момента импульса Sim (2.36).
Точно так же мы могли бы искать дальнейшие соотношения между интегралами (2.32) и затем использовать их в разложении (2.30) (при необходимости и в следующих членах разложения Yjiv, не приведенных в (2.30)). В выражениях этого типа далее возник бы октупольный момент системы тел Iijk=ST00XfiXfIXfkX Xd^xf и т. д. Ниже такие и последующие члены не рассматриваются.
Хотя в линеаризованной теории нет необходимости предполагать медленность движения источников по сравнению со скоростью света (всегда можно учесть последующие члены разложения (2.27), т. е. члены более высокой мультипольности), с целью упрощения и в соответствии с большинством реальных физических ситуаций будем предполагать, что материя источника совершает медленные движения, т. е. что справедливо u<Cl. Кроме ТОГО, конечно, имеют место неравенства І^тпІ^ІТтоІ^ІТооІ.
На этом основании в компоненте 700 сохраним все выписанные члены, В Ym0 — только два первых, а в утп — только первый член. В самом деле, например, третий член в утп содержит TmnXfiXfj ж «(O2L21TmnI «(O2L2V2Pttpv4 (см. (2.29)), второй член TmnXfi^ ~(oLu2p^pu3, а первый член Tmn^pv2f т. е. видно, что он является наибольшим (кроме того, следующие члены В Утп убывают ПО Г быстрее). В компоненте Yo0 третий член ТооХ'*Х>За* A(02pL2»pu2, т. е. имеет тот же порядок, что и первый член в Ymn. (В размерных единицах везде вместо v надо писать v/c.)
Представим теперь отдельные компоненты Ymv согласно (2.30) (после умножения на 4), причем интегралы (2.32) и их производные по времени подставим из (2.31), (2.35), (2.36), (2.40):
Ш . 2х^х? у , 2х*хі /0; с Vs4 . 2х?хі /ог с rS4 Yoo = — + Ii і + (З І і і-Oi jl s) + —j— (З I і J — 6, /s),
(2.42)
__Zx1Itii t 2xl fQ _; ч _21mn
гоп— ; I Г~ 1Hih Ymn— •
г г3 г
Члены типа 3Iij—Sij-Iss свидетельствуют о том, что удобно ввести тензор квадрупольного момента
Dik = ZItk-bikn. (2.43)
Этот тензор (в трехмерном пространстве) имеет нулевой след
62 (шпур); некоторые авторы вводят редуцированный тензор квад-рупольного момента (см. [2])
Zk = Iik- \ bikIl = уDik, (2.44)
который в точности равен бесследовой части второго момента (тензора момента инерции). Наше дальнейшее изложение в этой главе будет основано на Dik [1] (однако в гл. 6 будет использован также Тій)- Далее, вместо антисимметричного (трехмерного) тецзора Sjk введем (трехмерный) вектор момента импульса Si
Si = ZiikPik = -І- SilkSjk, Sik = BikiS', (2.45>
(?ijft — символ перестановок в трехмерном пространстве). Чтобы теперь записать составляющие у^ только с помощью Diki Si и My, выполним простое калибровочное преобразование (2.16) с помощью вектора gn, который будет иметь ненулевой только временную составляющую: S0 = (2/3 г) Issy In-O. Используя закон преобразования (2.23), найдем, что новые у^ (которые обозначим так же, как и исходные у^)у будут такими:
4M , 2xlxi ~ . 2хіхі т\ , 2xhd ~
Yo°=""Т + Д/ + Dii +
(2.46)
_ 2х? 2хС п
Уоп— ^3 8іпр 3/г2 Vni ^3 Uniy
Yтп — Dtnn •
В принципе в линеаризованной теории можно выполнить полное мультипольное разложение гравитационного поля. Математический формализм этого разложения, конечно, весьма сложен (тензорные гармоники и т. п.). Первые такие мультипольные разложения были опубликованы только в начале 60-х годов. Разные авторы при этом использовали различные предположения и условия, так что сравнение полученных результатов весьма затруднено. Большую работу по сравнению всех этих результатов и общему развитию теории выполнил в последние годы Торн [13]. Выражения (2.46) сходны с первыми членами разложения (8.12а, Ь, с) в [13]. Однако, чтобы убедиться в этом, необходимо внимательно ознакомиться с компактной системой обозначений в [13].
Из выражений (2.46) нетрудно получить метрику ^liv=Tiliv+ +Y^v- 1^TWY- Метрику полезно переписать так, чтобы производные квадрупольного момента входили только в ее пространственные компоненты. С этой целью выполним еще раз калибровочное пребразование (2.16), теперь с помощью вектора Io=l^xiXjX
63 хг-8(3?«+г-ф«), і« = — '/з х{г~2(20пг + r-'Dni) + 1/Зхпх^г~* X ХС/гА'/Ч-Зг 1D1/). Тогда метрика островной системы тел будет иметь следующее асимптотическое выражение:
2 M
ds2-
1
dt2-
+
+
Га /i , 2м , n , п [Ці + — +— Dtm + — Dlm
6г3
-(XeDfi + XiDll) +
XiXh1Xm
12 г5
Am +о
(2.47)
Какие выводы можно сделать, анализируя это выражение?
Во-первых, масса M входит в (2,47) точно так же, как в линеаризованной метрике Шварцшйльда (1.137). Действительно, если разложить метрику Шварцшйльда в так называемых изотропных координатах (см., напр., [2]) до членов порядка (1/г)2, то получим
