Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Бичак И. -> "Гравитационные волны в ОТО и проблема их обнаружения" -> 23

Гравитационные волны в ОТО и проблема их обнаружения - Бичак И.

Бичак И., Руденко В.Н. Гравитационные волны в ОТО и проблема их обнаружения — МГУ, 1987. — 264 c.
Скачать (прямая ссылка): gravitacionnievolnivotoobnarujenie1987.djvu
Предыдущая << 1 .. 17 18 19 20 21 22 < 23 > 24 25 26 27 28 29 .. 110 >> Следующая


Часто линейную теорию рассматривают не как приближение точной теории, а как самостоятельную теорию в пространстве-времени Минковского, в которой гравитационное поле описано лоренц-ковариантным полем — симметричным тензором /ia?, удовлетворяющем лоренц-ковариантным уравнениям поля (2.12). При таком подходе источники существуют в пространстве-времени Минковского, «не чувствуя» собственного поля тяготения, которое здесь имеет не геометрическую природу.

Полезно заметить, что линеаризованная теория гравитации может быть сконструирована на основе тензорного поля четвертого ранга в плоском пространстве-времени, а также условий и уравнений, которым это поле (по своей структуре и свойствам сходное с полем, характеризуемым тензором Римана) должно удовлетворять, чтобы обеспечить существование тензора второго ранга /la?, играющего роль гравитационного потенциала (аналогично 4-потенциалу в электродинамике) (см. детали в [9]).

2. Калибровочное преобразование. Рассмотрим бесконечно малое преобразование координат

X^=Xil-I11(X)y (2.16)

56 где (х)—произвольное бесконечно малое векторное поле, такое, что метрика и в новых координатах также бесконечно мало отличается от метрики Минковского. Функции и их производные имеют тот же порядок величины, что и /гар. (Если использовать формальный малый параметр є, т. е. записать (2.1) в виде ?ар=т)<*р + > то (2-16) имело бы вид Xf*=X* + (х).) Преобразование (2.16) не является точечным преобразованием (каким было, например, аналогичное преобразование (1.76)), а состоит в том, что той же самой точке, которая имела координаты приписываются теперь координаты (т. е. меняется система координат).

При преобразовании (2.16) метрический тензор преобразуется согласно общему правилу (1.13), отсюда можно получить важное соотношение — калибровочное преобразование для малых отклонений от метрики Минковского

Aa? ?a,?— I?,а, (Іа = Ца?Р). (2.17)

Из закона преобразования аффинной связности (1.20) следует, что при преобразовании (2.16)

T?v = T?v—??v, (2.18)

откуда, используя связь между Г и g, получаем

^a?.v — ^a?,v — ?a,?y — I?, ay, (2.19)

это можно было бы получить так же прямым дифференцированием выражения (2.17). Добавочный член в (2.18), зависящий от появился потому, что аффинная связность при нелинейных преобразованиях не трансформируется как тензор. Однако при калибровочных преобразованиях (2.16), несмотря на то, что отклонение от плоской метрики — потенциалы ЛаР — изменяются согласно соотношению (2.17), тензор Римана (2.8) остается инвариантным. В этом можно убедиться прямой подстановкой (2.17) или (2.19) в (2.8). Тензор Римана в известном смысле аналогичен тензору электромагнитного поля Z7ctp= Л?, a — Ла, ?, который инвариантен относительно калибровочных преобразований потенциала Aa-^Acc = Aa + A>a. Эта аналогия позволяет бесконечно малое преобразование координат (2.16) по традиции называть (по мнению некоторых авторов, не слишком удачно) калибровочным преобразованием. Ясно, что тензоры, конструируемые из тензора Римана, например тензор Риччи, скалярная кривизна и тензор Эйнштейна, являются калибровочно-инвариантными.

Приведенные выше результаты являются частными следствиями теоремы, утверждающей, что для произвольного тензора, имеющего в фоновом пространстве-времени с метрикой gap (соответственно в линеаризованной теории — в пространстве-време-

ни Минковского с метрикой Tjixv) компоненты W'", а в слабо

(0)

57 возмущенном пространстве-времени — компоненты W\\\ = W\[\ + + 61Г;;,то линейное возмущение 6И7;;; при калибровочном преобразовании (2.16) меняется по закону 8W ;;; = SW..'. + JEW'.'.., где

1(0)

S — производная Ли по \ (§ 1.3) (доказательство этой теоремы приведено, например, в [12]). Обращаясь к (1.82), легко видеть, что калибровочное преобразование возмущенной метрики gap,=

(0)

= yW* ofia?=Aa?» определенное выражением (2.17), действительно можно записать в виде Aa?=Aa?—в то время как тензор

Римана и сконструированные из него величины останутся калиб-ровочно-инвариантными, поскольку исчезают в фоновом пространстве-времени Минковского.

Используем теперь калибровочное преобразование (2.16) для упрощения линеаризованного закона тяготения, гравитационного закона (2.12). Вводя вместо Ajiv величины

YHv=Anv-72TbA A=Tip6Ap6,

(2.20)

AHV=Yiiv-1^rbvY, Y==rIp6YpO* получим из (2.12) закон тяготения в виде

-^v.«-%vY$. +YS«.,, + Y?a>(i = ^7V (2.21)

Это уравнение сильно упростится, если Yliv будет удовлетворять условию

Yv,.v=0. (2.22)

По аналогии с условием, или калибровкой, Лоренца в электродинамике условие (2.22) также называют условием Лоренца. С помощью калибровочного преобразования (2.16) всегда можно выбрать такую систему координат, в которой (2.22) справедливо, т. е. осуществить лоренцеву калибровку.

Действительно, при. калибровочном преобразовании величин Ynv имеем

Y^v = YiiV-V-Svi Ц + (2.23)

откуда следует Y^v =zYj^v— Если известны величины

Y^v Ф 0 как функции Xai то достаточно решить неоднородное волновое уравнение DSli=YjIiV и использовать в преобразовании (2.16) полученное решение это приведет к системе координат, в которой (2.22) выполнено, т. е. к лоренцевой калибровке.
Предыдущая << 1 .. 17 18 19 20 21 22 < 23 > 24 25 26 27 28 29 .. 110 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed