Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Бичак И. -> "Гравитационные волны в ОТО и проблема их обнаружения" -> 28

Гравитационные волны в ОТО и проблема их обнаружения - Бичак И.

Бичак И., Руденко В.Н. Гравитационные волны в ОТО и проблема их обнаружения — МГУ, 1987. — 264 c.
Скачать (прямая ссылка): gravitacionnievolnivotoobnarujenie1987.djvu
Предыдущая << 1 .. 22 23 24 25 26 27 < 28 > 29 30 31 32 33 34 .. 110 >> Следующая

AllCk0 = A00 = All0U0 = 0.

(2.63)

Hlv = H00=H^Uv = O.

(2.64)

68 волновыми векторами. При этом ясно, что всегда можно выбрать такую калибровку, в которой все плоские волны, суперпозиция которых образует данную волну, будут удовлетворять (2.64). (Функции калибровочного преобразования также будут суперпозициями .плоских координатных волн.) Тогда можно заключить, что в случае произвольного поля гравитационного излучения, т. е* гравитационных волн произвольной формы, всегда (после выбора U*) можно выбрать калибровку, в которой (2.64) выполняется.

В частности, в лоренцевой системе, в которой = получим

h0»=hiit!=hkk=0. (2.65)

Здесь суммирование проводится только по нижним пространственным индексам (так как все Hixv с временным индексом равны нулю, а при поднимании и опускании пространственных индексов с помощью метрики Минковского знак не меняется).

Тензор, удовлетворяющий (2.65), называется поперечным бесследовым (transverse-traceless), причем поперечность означает исчезновение всех компонент с временным индексом (т. е. поперечность относительно временного направления, определенного Utx), так что для плоской волны условие hiU /=O означает перпендикулярность волнового вектора к пространственному тензору Zit/, Hijkj=O. В согласии с [2] соответствующую калибровку обозначим как 7Т-калибровку. (Если совершенно очевидно, что Hiiv удовлетворяет (2.65), индекс TT будем опускать.) Набор условий (2.65) можно просто записать в виде

V=^v. (2.66)

Если вычислить в 7Т-калибровке тензор Римана согласно (2.8), то получим

RiOJO ---Y Л[/\оо (2.67)

и одинаковыми (кроме знака) будут компоненты, которые можно получить из (2.67), используя свойства симметрии тензора Римана.

Как перейти от произвольной калибровки к 7Т-калибровке? Пусть имеется решение линеаризованного закона тяготения (2.21) в вакууме в произвольной калибровке в виде плоской волны

Y ^v= ^vA*", (2.68)

где Aliv, ka не зависят от xv. Чтобы удовлетворить уравнениям (2.21) (с Tvlv=0), необходимо выполнение равенства

A^ykak + tInv^apfc ^—i^pivfc ^v i^vafc k^ = 0. (2.69)

69 Если это равенство свернуть по индексам \i и v, получим

Alkje (2.70)

Решения теперь можно разделить на два класса.

1) kaka=0. Тогда из (2.70) следует A^k*=0 и из (2.69) имеем —A^kccItv-AVa.kak»=0. Полагая |i=v, отсюда находим, что уже из (2.69) следует AvkJe=0, т. е. решение (2.68) автоматически удовлетворяет условию калибровки Лоренца Y^v Это класс физически реальных волн.

2) kJ^O, т. е. волна не распространяется со скоростью света. Условие Лоренца теперь не следует из (2.69). Калибровочное преобразование, порождаемое вектором Ilx = iBelk°x0f где Bix= =Auvkv/(ka?a), приводит к выполнению условия Лоренца в новой системе. Из (2.61) следует AfilvZiv=0; отсюда, умножая на kjza и используя уравнения поля (2.69), получим A\vkjza=0, что дает (в предположении kaka?=0) A\v=0. Плоские волны (2.68), не распространяющиеся со скоростью света, являются чисто координатными и могут быть уничтожены преобразованием координат. Прямым вычислением убедимся, что в этом случае тензор Римана (2.8) (который легко записать с помощью Ynv) исчезает.

Произвольную гравитационную волну можно разложить по плоским волнам (в интеграл Фурье)

-^rJdw (2.71)

и затем провести анализ по аналогичной схеме.

Пусть плоская волна (2.68) принадлежит волнам класса 1), т. е. удовлетворяет условию Лоренца yJU = 0 = AvJi9 и kaka = 0. Как найти калибровку, в которой также справедливо Aaa=AviaUa= =0, т. е. как найти hffi Можно, конечно, выполнить калибровочное преобразование и выбрать так, чтобы имело место (2.62). Другая возможность состоит в выделении из Zifiv подчиняющейся условию Лоренца части h^l без выполнения калибровочного преобразования.

Определим оператор проецирования на направление Ttl распространения волны выражением (1.21)

Рц=Ъц-гцщ, tii=kil [ksks) 1Z2. (2.72)

Легко убедиться, что величины

hTiJ = PirPfsHrs--L Pij(Prshrs) (2.73)

Фт TTrT rPrP

удовлетворяют соотношениям hif =0, Au = 0, таким образом, h\{ действительно есть отклонения ha от плоской метрики в 7Т-ка-либровке, т. е. в соответствующей системе координат.

7а Разумеется, всегда справедливо соотношение (2.67) между тензором Римана и A^оо; поскольку тензор Римана калибровочно-инвариантен, его можно вычислить в любой калибровке и из (2.67) найти hTJ = 2(if2RiQf0 в предположении, что Afiv=Afiv (х1)е~ш. Ее* ли Afiv немонохроматично, но может быть разложено по плоским волнам (см. (2.71)), то оператор проецирования типа (2.72) надо применять к каждой плоской волне отдельно [2]. Чаще всего достаточно использовать оператор (2.72) для плоских волн, поскольку поле излучения вдали от изолированной системы тел имеет плосковолновой характер.

Вообще говоря, не любое слабое поле тяготения можно перевести в 7Т-калибровку, т. е. найти для него h™. Например, стационарное гравитационное поле островной системы нельзя разложить по плоским волнам (преобразование Фурье нельзя использовать в случае неинтегрируемых функций).
Предыдущая << 1 .. 22 23 24 25 26 27 < 28 > 29 30 31 32 33 34 .. 110 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed