Гравитационные волны в ОТО и проблема их обнаружения - Бичак И.
Скачать (прямая ссылка):
Y^v=ReHlivAxe], (2.56)
где амплитуда Aliv (вообще говоря, комплексная) представляет собой постоянный тензор; k° — волновой вектор, действительный и постоянный. В дальнейшем знак Re опустим, имея в виду, что физический смысл имеют только действительные части соответствующих величин.
* Как и в § 1.5 при выводе этих формул следует пользоваться асимптотически лоренцевой системой координат (AJIK) или использовать ковариантньш подход, изложенный в § 1.5.
66 Подставив (2.56) в (2.55), найдем, что волновой вектор должен быть нулевым (светоподобным) вектором, а условие (2.22) свидетельствует об ортогональности амплитуды и волнового вектора:
kok° = 0, AvlvP= 0.
(2.57)
Поскольку в наших единицах (с=1) временная компонента k0 волнового вектора равна частоте волны, можем в силу (2.57) выразить частоту через пространственные компоненты волнового вектора:
сразу получаем, что (2.56) описывает плоскую гармоническую волну, распространяющуюся в направлении n=k/co со скоростью света.
Мы увидим в гл. 3, что фронт гравитационной волны распространяется со скоростью света и в точной теории. Заметим, что в точной теории решения, переходящего в (2.56) в пределе слабого поля, не существует. Плоская волна (2.56) не ограничена в пространстве (и во времени), поэтому ей должна соответствовать бесконечная масса-энергия; поправка второго порядка (так же, как и высшие), обусловленная этой эффективной энергией, не может быть малой. Как и в других линейных физических теориях, мы можем складывать решения типа (2.56), отвечающие различным частотам, и образовывать пространственно (и энергетически) ограниченные волновые пакеты. Решением (2.56) можно пользоваться с достаточной точностью вблизи «центра» такого пакета. Как будет показано, волновому пакету в точной теории может быть сопоставлено соответствующее точное решение (см. гл. 3).
Калибровочное условие (2.22) не задает координатную систему однозначно. Бесконечно малое (калибровочное) преобразование координат (2.16), в котором функции |д(х) удовлетворяют волновому уравнению
приведет к замене (см. (2.23)) на y'hv, которые также удовлетворяют условию (2.22). Отсюда следует ожидать, что калибровочными преобразованиями такого типа можно ограничить произвол в выборе тензора амплитуды помимо условия (2.57) еще некоторыми условиями. В этом смысле волна (2.56) содержит не только действительные возмущения, или «степени свободы», но и координатные волны, которые можно устранить соответствующим выбором системы координат. Действительно, выберем решение
Ik
уравнения (2.60) в виде ^= —іВ^е а , где Bv- — произвольный
O=IkI =(kl + k2y + kl)x/\
(2.58)
Из выражения для фазы
kox? = —k°t + k-r= — со(^—пг), n = k/co,
(2.59)
(2.60)
67 постоянный вектор. После применения соответствующего преобразования к ynv (см. (2.23)) получим y'?V, или
Aliv Aliv — Aliv BllItv BvkJll + VlivBfjk . Четыре константы Bix всегда можно выбрать так, чтобы Af0V=O9 AV=0.
(2.62)
(2.61)
Условия Af0ll=O являются только тремя независимыми условиями; свойства (2.57) остаются справедливыми, т. е. AfllJzv=0, откуда следует (при Jji=O) ^oo=O, если выполнено Af0m=0. Условие (2.62) можно записать в независимой от координат форме; для этого введем во всем пространстве-времени постоянное векторное поле (4-скорость) Uv=Const и потребуем, чтобы AfvJJv=0. Выбор Uv соответствует выбору инерциальной системы отсчета с точки зрения плоского фона. В частности, в лоренцевой системе координат, где справедливо (2.1) и в которой Uv= (Iy 0, 0, 0), получим Af0ix=O. Теперь (опуская штрихи у величин) выпишем все 8 независимых условий для компонент тензора амплитуды, которым, как мы показали, всегда можно удовлетворить соответствующим выбором калибровочного преобразования, т. е. переходом к другой системе координат с помощью бесконечно малых (калибровочных) преобразований координат:
Эти 8 условий уже однозначно определяют калибровку. Симметричный тензор Aixv имеет, следовательно, только 2 (=10—8) свободные, произвольные компоненты. Мы доказали, что плоская гравитационная волна имеет две степени свободы, отвечающие двум независимым состояниям поляризации (подробнее о поляризации см. ниже).
Этот факт полностью согласуется с общим анализом проблемы начальных значений (проблемы Коши) в точной теории Эйнштейна, согласно которой гравитационное поле в каждой точке начальной гиперповерхности имеет две степени свободы (см., напр., [2, 8], в частности статьи Шоке-Брюа и Йорка в [8]). В этом отношении нелинейная теория не меняет выводов линеаризованной теории.
Вернемся теперь к величинам Hixv и у^. В калибровке (2.63) Yoa=O, так что (см. (2.20)) теперь Ynv есть в точности отклонения метрики ОТ метрики МИНКОВСКОГО Ynv=^nv и условия (2.63) можно писать в виде
Возможность выбора однозначной калибровки (т. е. однозначного определения Zifiv) доказана только для плоских гармонических волн. Вследствие линейности теории любую гравитационную волну можно разложить по плоским волнам (2.56) с различными
