Уравнения математической физика - Бицадзе А.В.
Скачать (прямая ссылка):
При требовании суммируемости функции ф(Ф) формула (208) дает гармоническую в круге | z i < 1 функцию,
278
ГЛ VI. МЕТОДЫ решения уравнении
которая при | г \ -*¦ 1 почти для всех Ф, 0 Ф ^ 2л, стремится к ф(Ф).
3°. Построение приближенного решения задачи Дирихле для гармонических функций в круге. Пусть t'=ел', = точки на окружности |<|=1.
Функция
при выборе ее главной ветви однозначна и гармонична. Она называется гармонической мерой дуги t't” окружности |f|=l в точке г, |г|<1, относительно единичного круга
lZ,<1- -л
Ввиду того, что при г = е‘°
Г г—/' 'I
е J = arg
функция и (O', О"; е*0) равна единице в каждой точке открытой дуги t't", и равна нулю на допол-
нении дуги t't\ О' Ф О", до полной окружности \ t \—1. Когда же точка z изнутри круга | г | < 1 стремится к точке eift' или еЛ", то предельные значения «(¦&', О"; г) даются по формуле (210).
Существуют различные методы построения приближенных решений задачи Дирихле. Среди них в определенном смысле универсальным является рассмотренный в предыдущем параграфе метод конечных разностей.
Понятие гармонической меры позволяет построить довольно простую формулу, дающую приближенное решение задачи Дирихле (202) для гармонических функций в круге.
Пусть заданная на окружности 111 = 1 функция f (О)
непрерывна. Точками е п , k=>\разобьем окружность | f | = 1 на равные дуги. В силу равномерной непрерывности функции /(Ф) для любого наперед заданного е>0 существует натуральное число N (г) такое, чтр
sm -
it — О"
sin -
S 6. ПОСТРОЕНИЕ ПРИБЛИЖЕННОГО РЕШЕНИЯ
279
для любых О* и •&** из сегмента
2л (k— 1) А 2я*
л л
как только N.
Выбирая главные ветви каждого слагаемого в правой части формулы
П
Й(г) = -‘ ^ fe=i
где Щ — фиксированное значение 0 из интервала
2я (k— 1) , , ink
я к п ’
получаем гармоническую в круге | г | с 1 функцию м (г), которая в точках / = для всех значений Ф из интервала
2л (fe — 1) _ „ . 2пк
— „—- < w<—^ п п
принимает изнутри круга |г|<1 значение /($*), а ее
2я ik
предельные значения в точках t = e п вычисляются по формуле (210).
Очевидно, что если и (г) — точное решение задачи (202),
то
|ы(г)-й(г)|<е, j г | < 1,
как только n^N. Следовательно, формула (211) дает приближенное решение задачи Дирихле (202) для гармонических функций в круге |г|<,1.
2ijl I k—1) 1
in
n
L г—e
f№, (211)
ГЛАВА VII
НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
§ 1. Уравнения Коши — Ковалевской
1°. Определение системы Коши—Ковалевской и постановка задачи Коши для нее. Как и в пункте 2° § 1
введения, будем считать, что равенство
F(x, .... Pi,....,,, = (1)
......
/г — 0, т,
представляет собой систему N уравнений в частных производных с N неизвестными функциями (мх, ..., цлО = и, причем порядок каждого уравнения равен т, 1.
Дополнительно будем предполагать, что функции Fi{x, ..., Pix-..in, •••)» •=1. •••. N, непрерывны относительно всех своих аргументов в окрестности их фиксиро-
П
ванных значений х°, p\t^ if = k, k = 0...............т, не-
; = 1
прерывно дифференцируемы относительно рто...о = = (Р)по...о» •••» Рто.. о) и Функциональный детерминант
др‘ ф 0, = (2)
det
mO.. О
Тогда в силу известной теоремы о неявных функциях . систему (1) можно записать в виде
^ти (/ дки ’ \ ,оч
где заданный /V-мерный вектор f = ..., /лг) уже не
дти
содержит — дх[
Систему (3) принято называть системой Коши—Ковалевской. Очевидно что далеко не каждая система (1) относится к типу Коши — Ковалевской. Так, например,
$ 1. УРАВНЕНИЯ КОШИ - КОВАЛЕВСКОЙ
281
в случае системы
d***i п Риг л
условие (2) не выполнено, и, стало быть, она не является системой Коши — Ковалевской.
Пусть в некоторой области G гиперплоскости ^ = 0 заданы достаточно гладкие /V-мерные векторы
ф(0)(*2, ..., х„), ..., ф,,п-1’(Х2...хп).
Задача отыскания регулярного в некоторой п-мерной окрестности области G решения и = (ы1( ..., un) системы (3), удовлетворяющего начальным условиям
~ — ф(А) (х2...х„), к = 0.nt 1, (4)
дЧ *,=о
называется задачей Коши.
2°. Редукция системы (3) к системе первого порядка.
Введением новых неизвестных функций система (3) может быть приведена к системе Коши — Ковалевской первого порядка
до с, .
О. -О’
Pi, {Р[ ... I,,-., I.) = . (5)
*1 = 0. ± **/=1.
( = 2
с начальными условиями
v(0, хъ х„) = ф(х2...........хп), (6)
где/, ф —заданные, а у —искомый Л^-мерные векторы, Ni> N.
Более того, можно придать системе (5) вид квазилинейной системы. Мы здесь покажем, как это делается в случае, когда Af=l, т — 2 и п — 2, т. е. на примере одного уравнения второго порядка с двумя независимыми переменными
d*u_f(v „ ,, ди ди дги д*и\' />7Ч
дх*~'\Хъ Хъ дхг' дъ' dXidXt’ dxi)'
и(0, дс,) = ф‘°» (х,). —
х(=0 = ф(1)(^' (8)
282
ГЛ. VII. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Примем обозначения
их{х 1, х2) = и(хх, х2),
(Xj дх.
дих (дсь хг) _ „ „ ч дих (хх, .. ч (9)
“2 -*2/» дг_ —Л2)•
Тождественное выполнение последних двух равенств (9) означает, что
dut (хх, х2) __ ди„ (хъ х^) dxt
(10)
В силу (7), (9) и (10) заключаем, что функции иъ и2 и и9 являются решением системы Коши — Ковалевской
