Уравнения математической физика - Бицадзе А.В.
Скачать (прямая ссылка):
(42)
P(Z, w) = 2 $kiZkwl, Poo = о,
^ = Y(z, w), y(0, 0) = 0, w (0) = 0. (43)
00
(44)
5 I. УРАВНЕНИЯ КОШИ - КОВАЛЕВСКОЙ
291
7°. Некоторые другие замечания относительно задачи Коши (18) для системы Коши — Ковалевской (17). В предыдущем пункте было доказано существование в малом (вблизи данной точки) аналитического решения задачи Коши (18) в случае, когда (17) представляет собой одно уравнение с одной неизвестной функцией и с аналитической правой частью. Это доказательство непосредственно обобщается на случай системы, причем единственность аналитического решения следует из процесса его построения. При этом не имеет значения, будет ли система (17) эллиптична, гиперболична или параболична, важно лишь то, что она типа Коши — Ковалевской. Следует заметить что носитель начальных данных f = const в случае гиперболических или параболических систем вида (17) не является характеристикой.
Единственность решения задачи (17), (18) с аналитическими данными имеет место и в классе неаналитических решений, но на ее доказательстве мы здесь останавливаться не будем.
Неаналитические решения задачи (17), (18) не всегда существуют, если система (17) не является гиперболической. В этом нетрудно убедиться на примере системы
Коши—Римана
ди dv dv ди ...
dt~dx’ dt ~ ~ дх’ х+1* — г> (45)
представляющей собой эллиптическую систему Коши — Ковалевской. В самом деле, допустим, что в области D
плоскости переменных х, t, содержащей внутри себя отрезок ab оси / = 0, существует регулярное решение системы (45), удовлетворяющее условиям
и(х, 0) = ф(дг), v(x, 0) = 0, а<х<Ь. (46)
Принимая во внимание второе из условий (46), на основании принципа симметрии Римана — Шварца (см. пункт 3° § 4 гл. II) заключаем, что функция и (х, t) -f 4- iv (х, t) = F (г) аналитична в области D, включая открытый отрезок ab, т. е. функция ф (лс) в первом из условий (46) должна быть аналитической по переменному х. Следовательно, если наперед известно, что ф(л:) этим свойством не обладает, то задача (45), (46) не будет иметь решения.
292
ГЛ. VII. нелинейные уравнения
Легко видеть, что даже аналитические решения задачи (17), (18) могут оказаться неустойчивыми. Действительно, непосредственной проверкой убеждаемся в том, что система (45) имеет аналитическое (притом единственное) решение
и {х, t) — sh nt sin пх, v (х, t) — — nj ch nt cos nx,
удовлетворяющее начальным условиям
u(x, 0) = 0, v(x, 0) = -^,
но это решение, очевидно, неустойчиво (ср. с пунктом 5° § 3 гл. III).
§ 2. Нелинейные гиперболические и эллиптические
уравнения второго порядка
1°. Нелинейные уравнения гиперболического типа.
В главе III было показано, что в случае линейных уравнений второго лорядка с двумя независимыми переменными гиперболического типа наряду с задачей Коши корректно поставлена и задача Гурса нли характеристическая задача (см. пункт 4° § 3 и пункт 2° § 4 гл. III).
Поскольку в случае общих нелинейных уравнений тип уравнения зависит от решения и, стало быть, в определении характеристик нелинейного гиперболического уравнения могут участвовать искомые решения, постановка и исследование задачи Гурса для таких уравнений сталкиваются с определенными трудностями. По этой причине здесь в основном ограничимся рассмотрением частного класса квазилинейных гиперболических уравнений.
В случае двух независимых переменных широкий класс квазилинейных уравнений можно привести к виду
ет = ^(*’ у’ р% ^ (47)
где / — заданная функция х, у, и, р= <7 = ^.
Характеристиками уравнения (47) являются прямые х = const, у — const. Обозначим через D прямоугольную
§ 2. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА
293
область плоскости переменных х, у, ограниченную прямыми х = 0, у — 0, х = а, у = Ь. Будем предполагать, что функция f удовлетворяет условиям: 1) она непрерывна относительно всех своих аргументов при (х, y)^D и
lu|^=-/4i, | р | ^ А2, \q\ ^-^з» (48)
где Аи А2, А3 — определенные положительные числа, и 2) удовлетворяет условию Липшица по и, р, q, т. е. существуют положительные числа къ k2, k3 такие, что для любых и', р', q' и и", р", q", удовлетворяющих условиям (48), при (х, y)^D имеет место оценка
\f(x, у, и', р', q')-f(x, У, и", р", q")\^
<:k1\u'-u”\+k2\p'-p’\ + k3\q'-q’\. (49)
Под задачей Гурса для уравнения (47) понимается требование определить непрерывное в D U dD и регулярное в D его решение и (х, у), когда наперед заданы значения и(х, 0) = <р(х), и(0, у) = ^{у), 0<s^x*da, O^y^b, ф (0) = -ф (0).
При непрерывной дифференцируемости функций <р(х) и г|з(х) заменой и(х, у) через и(х, г/) — ф (дс) — -ф(у) -f- ф (0) добьемся того, что в условиях задачи Гурса
и (х, 0) = 0, и (0, г/) = 0, 0 «с х «с а, О^у^Ь. (50)
Решение задачи (47), (50) можно найти с помощью хорошо известного из курса обыкновенных дифференциальных’ уравнений метода последовательных приближений Пикара.
За нулевое приближение задачи (47), (50) примем Uo(x, у) = 0, а за последующие приближения —
U„(x, y)=jdi | f(l ть иП.г, (51)
n= 1, 2, ...
Пусть а, р — положительные числа, не превышающие а, b соответственно, причем
