Уравнения математической физика - Бицадзе А.В.
Скачать (прямая ссылка):
дих(хи х») _ „ .. \ дил(хх, х2) диг (xlt х2)
«2 l*i. *г), ^ .
да» (*1. х2) _г/ „ dut диЛ
dxt —l\xi’ х“ь “а* цз. ajeJ.
(И)
причем
«i(0. дг2) = и(0, *2) = ф(0) (*2), *,=0
МО, хш) = ди1{?г&
П (a у ' ди1 (*!¦ *«) _ ди (хЬ Xt) I __(!)/„%
МО, ду- *,=о a*i и=о_ф w'' (12)
= а“4°’ *2> = /- ф‘°) (*2).
*,=о дхг dxj т
Теперь введем три новые функции:
ди»(хit Xj)
дх* '
иА(хи х2)
М*. х2)^д-^^>, Щ(хг, *,)-?"*&Ч
(13)
На основании (10), (11) и (13) заключаем, что функции
Ul(*b *2). м*(*1. *2), и,(х1, xt),
«¦(**> х%), иь(хх, xt), ив(хр Хц)
i 1. УРАВНЕНИЯ КОШИ - КОВАЛЕВСКОЙ
283
должны составлять решение системы Коши — Ковалевской
В силу (13) и (15) эти же функции следует подчинять наряду с (12) еще и следующим начальным условиям-:
Таким образом, задача (7), (8) редуцирована к задаче Коши (12), (16) для квазилинейной системы Коши — Ковалевской (14).
В задаче (7), (8) в равной мере, как и в задачах (11), (12) и (14), (12), (16), носителем начальных данных является интервал G прямой хг = 0. Когда G является интервалом прямой jci = jcJ, то заменой независимого переменного Xx = t-\-x 1 добьемся того, что носитель данных будет лежать на прямой t = 0. Кроме того, без ограничения общности можно считать, что в условиях (8) начальные функции ф(0) и ф(1) тождественно равны нулю.
3°. Задача Коши с аналитическими данными. Теорема Коши — Ковалевской. Пусть все компоненты ^-мерных ВеКТОрОВ ф(*) = (ф1.......флг) и /=»(/!.......fN) яв-
ляются аналитическими функциями в некоторых, соответственно /i-мерной D„ и (я+ l)(Af+ 1)-мерной D(n+1)^N+1), областях переменныхх = (хи х„) и х, t, и— (ии uN),
Pi= (Ри> • • • у Pin)I • • •» Ряга (Рт, • • •» PnN)•
По данному в пункте 5° § 6 главы II определению это означает, что в некоторых, п-мерной и (п + 1 )(N + 1)-мерной, окрестностях значений (л:0, t°, и0, pi,...
ди4 _ dug диъ _ ди4 дх^ ~ dxt ’ dxt ~ дхг '
(14)
5
где
«в(*1, Xi) = f(xi, хг, Ui, «2, us, «4, «*)• (15)
(16)
284
ГЛ. VII НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
р°„) е Дл+1)(ЛГ+1) указанные функции могут быть представлены в виде сумм абсолютно сходящихся степенных рядов с неотрицательными целыми показателями
Ф (х) = ? ak (х — х°)к, f(x, t, и, pi, р„)=*
= S Akmsli... in (x - x°)k (t - tT (u - u°Y (pt - p\)1'...
...(p„—P«)4
где
П
Ok ” ... kn> — k,
/=1
(x - x»)k = (*! - ЛГ?)*1 • • • (Xn - 4)4
Л*/7Ы, ... гп =.<4*1...ftnms1....sA,/1) :lXN -lnl ->nNt N N
Sy=,s, hj = hi i=li .. •, n.
/ = 1 / = !
В этих предположениях задача определения регулярного в некоторой (л+1)-мерной области Dn+1 переменных х, t, содержащей внутри себя область Dn, решения и(х, t) системы Коши — Ковалевской
ди *1 , ди ди\
dt~f\X' * дх^'"" дхп)' (17)
удовлетворяющего начальным условиям
и(х, 0) = ф (лг), x^D„, (18)
называется задачей Коши с аналитическими данными.
В приложениях задачи (17), (18) переменное t выступает в роли времени, a Xi, .... хп — в роли пространственных переменных.
Имеет место следующее важное утверждение, известное под названием теоремы Коши — Ковалевской: для каждой точки х°еД, имеется (п + 1)-мерная окрестность изменения переменных х, t, в которой существует, и притом единственное, аналитическое решение и (х, t) задачи Коши (17), (18) с аналитическими данными.
Как уже было отмечено в конце предыдущего пункта, можно считать, что вектор ф (лс) в условии (18) тождественно равен нулю. Этого всегда можно добиться заменой и(х, t) через и — ф.
$ 1 УРАВНЕНИЯ КОШИ - КОВАЛЕВСКОЙ
285
4°. Понятие мажоранты аналитической функции. Пусть
f(y), y = (yi..ур), — аналитическая в некоторой р-мер-
ной области Dp переменных уъ ур функция. Если
у* = (у*, ..., Ур), у%Фй, k=l, •••. Р, является точкой
абсолютной сходимости степенного ряда
f(y) = Zak(y-y°)>, (19)
Р
.. k/ = k, = (У\, • • •» Ур),
(у-у°г = (у1-у1)^...(ур-ур)к^
то существует положительное число М такое, что для всех индексов k
^-------, i kf = k. (20)
n\yf-y°i\k' '=1 1 = 1
Говорят, что аналитическая в Dp функция ф (у) является мажорантой функции f (у), если все коэффициенты разложения
Ф (У) = 2,Ьк(у-у°У (21)
положительны и
I ак | Ьк
для всех значений индекса k.
На основании (20) заключаем, что в качестве мажоранты представленной формулой (19) функции f(y) может служить функция
-------(22)
П П('-т?4т)
1-1 1Х\
при
\y/—y0i'i<\y*—yl\> /= 1. •••, Р-
Наряду с (22) мажорантой f(y) является и функция
Фх (У) = ——р----------.
1-4 2
/ = 1
где
min \у?-у°1\.
286
ГЛ. VII НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Справедливость этого утверждения следует из того, что при
2] I У/-И1<а /=!
имеем
г=о“ L/=i
-м1±2ъг^> D>-*»*•• (23)
;=о s=i 8 = 1
и, кроме того,
«»п«. т
8 ae 1
1 а ТТ I __________________________________________________________#<о I*
Очевидно, что функция фх(г/) остается мажор,,,пой /(г/), если в выражении (23) вместо yi — yi написано
^(i/i-'/i). 0<а<1, а = const.
5°. Доказательство теоремы Коши — Ковалевской при отсутствии в задаче (17), (18) пространственных переменных. В рассматриваемом случае (17) представляет собой обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка
