Уравнения математической физика - Бицадзе А.В.
Скачать (прямая ссылка):
подынтегральное выражение которого щредставляет собой квадратичную форму с достаточно гладкими коэффициентами, удовлетворяющую условию
Р (1г + г]2) + + Ш + 2Ьц$ ц2 (I2 + т]2),
где |л. — действительная постоянная.
Для функционала Е (и) уравнение Эйлера
2 (рих)х + 2 {ри^у + 2 (аи)х + 2 (Ьи)у — 2 аих — 2Ьиу — 2 си = О
можно записать в виде'
(рих)х + (риу)у — с* и = О,
где
с* = с — ах — by.
3°. Минимизирующие последовательности. Когда класс допустимых функций {и} не является пустым, множество ¦значений интеграла Дирихле D (и) имеет нижнюю грань d. Хотя мы и не знаем, достигается ли эта грань допустимой функцией, но очевидно одно: существует последовательность ип, /1=1, 2, ..., допустимых функций такая, что
lim D{un) — d. (193)
«->оо
Последовательность и„, п = 1,2,..., для которой имеет место равенство (193), называется минимизирующей.
То же самое можно сказать и о функционале J (и). Существование минимизирующей последовательности еще не означает, что существует решение рассматриваемой вариационной задачи. Объектами дальнейших исследований должны быть следующие вопросы: 1) как строить минимизирующую последовательность, 2) сходится ли она и
3) является ли ее предел и = \\ти„ допустимой функцией?
Детальное исследование этих вопросов требует введения в рассмотрение определенных функциональных пространств, элементами которых, в частности, являются члены минимизирующей последовательности. Установив сходимость минимизирующей последовательности в метрике этих
272
ГЛ. VI. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
пространств, желательно либо показать, что полученный предел является решением вариационной задачи в приведенной выше постановке, либо разумно обобщить понятие самого решения. При этом каждый раз следует установить, что решение вариационной задачи является решением краевой задачи либо в обычном, либо в определенном обобщенном смысле.
В вариационном исчислении имеются разные методы построения минимизирующих последовательностей. Эти методы применительно к задачам для уравнений с частными производными принято называть вариационными или прямыми методами. Важно то, что некоторые из вариационных методов позволяют строить приближенные решения рассматриваемых задач. О двух из этих методов речь пойдет ниже.
4°. Понятие о методе Ритца. Сущность этого метода заключается в следующем. Пусть рассматривается вопрос о минимизации функционала Ф(ы). Обозначим через vn, п= 1, 2, ..., полную систему допустимых функций для функционала Ф (и) и составим последовательность ип =
П
— 2 ckVk, п=*\, 2, ..., где с* —пока произвольные по-
к — 1 стоянные.
Определим коэффициенты с*, k = 1, ..., п, так, чтобы выражение сря = Ф(ы„) как функция съ ..., сп было минимальным.
Для некоторых классов функционалов Ритцу удалось показать, что {«„} является минимизирующей последовательностью, которая сходится и предел которой и решает рассматриваемую задачу.
Рассмотрим, например, вторую вариационную задачу минимизации функционала J (и), когда область D представляет собой квадрат 0<х<я, 0<^/<я, причем без ограничения общности будем считать, чю
Я (и) = 1. (194)
В качестве указанной выше полной системы мы можем брать систему функций
sin&xsinly, к, / = 1, 2, ...
$ 5. ПОНЯТИЕ О ВАРИАЦИОННЫХ МЕТОДАХ
273
Пусть
т п
Ытя=2 Cw sin fee sin ly, m, n= 1, 2, ...
*=i/=i
Функции umn (л, у), очевидно, удовлетворяют условию (190). Кроме того,
т п
<Ln = D (итп) = ^ 2 2 е»{кг + /2)> (195)
k — 1 1=] т п
я(«тя)=42 2 е1'-
k=.i=i
По схеме Ритца в силу (194) нам следует найти минимум выражения (195) при условии, что
2 2*-»- (196)
*=ii=i
Решая задачу (196), (195) на условный экстремум, находим, что при любых т и п все равны нулю, кроме Сц, причем
С11 ~ ~ > dmn — 2,
т. е.
2
Нш итп = и (х, у) =»- sin х sin у,
т-* оо
П-+СО
lim dmn =» D (и) = X = 2.
«-*00 v Л—*00
5°. Построение приближенного решения задачи о собственных значениях. Понятие о методе Бубнова — Галер-кина. Метод Ритца позволяет построить приближенное решение задачи (189), (190) о собственных значениях.
В самом деле, за приближенное решение второй вариационной задачи о минимизации функционала J (и) при условии, что
Н(и) = 1, можно принять функцию
п
ип (X, у) = 2 ChVk (х, У) k = 1
10 А! В. Бицадзе -
274
ГЛ. VI МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ
из предыдущего пункта, где коэффициенты ck, k—l, , п, определяются в результате решения задачи на условный минимум
dn (?i> • ¦ • t ся)= D (ыл) = min, hn х > • • •» ?п):: Н ^Мп) — 1 •
Таким образом, построенную функцию ип(х, у) естественно принять за приближенное выражение собственной функции задачи (189), (190), причем формула
K = D (ы„)
будет давать приближенное выражение для собственного числа этой же задачи.
При построении приближенного решения задачи о собственных значениях также с успехом пользуются методом Бубнова —Галеркина. В этом методе за приближенное выражение собственной функции задачи (189), (190) принимается функция
п
ип(х, у)= 2 У),
* = 1
коэффициенты которой с*, k=\...........п, на этот раз опре-
деляются из равенств
П
2 Н(+ vm)ck = 0, т—\, ..... п, (197)
