Уравнения математической физика - Бицадзе А.В.
Скачать (прямая ссылка):
* = i
представляющих собой однородную систему линейных алгебраических уравнений. Как известно из линейной алгебры, эта система имеет нетривиальные решения тогда и только тогда, когда к удовлетворяет уравнению
|Я(ДР1+А,1>1, ot)... Н (Avn + \vn, иг)
det .................................
II Я (Apj + bi, v„) ... Н (bvn + \vn, vn)
Определенные из уравнения (198) значения к принимаются за приближенное выражение собственных чисел задачи (189), (190). Соответствующие же им приближенные выражения для собственных функций, как уже было сказано, даются формулой
П
ип(х, </)== 2 У).
(г = 1
в которой ck, k=\, ..., п, — решения системы (197).
= 0. (198)
§ 6 ПОСТРОЕНИЕ ПРИБЛИЖЕННОГО РЕШЕНИЯ
275
§ 6. Построение приближенного решения задачи Дирихле для гармонических функций в круге
Г. Задача Дирихле для гармонических функций с разрывными краевыми условиями. При постановке и исследовании задачи Дирихле для гармонических функций (см. пункт 4° § 3 введения, §§ 1, 2, 3, 4 гл. I, пункт 7° § 3 гл. И) до сих пор мы считали, что краевые значения искомого решения представляют собой непрерывную функцию точек границы области. Эта задача остается правильно поставленной и при более общих предположениях. Принцип экстремума для гармонических функций (пункт 4° § 1 гл. I) позволяет доказать справедливость следующего утверждения: если краевые значения гармонической в ограниченной области D плоскости комплексного переменного z = x-\-iy функции и {г) изнутри области D на ее границе S равны нулю всюду, кроме конечного множества точек {(jeS), fe=l, ..., N, и
то и (г) = 0 всюду в D.
В самом деле, обозначим через D6 часть области D, лежащую вне замкнутых кругов j z — tk | sg fi, k = 1, .... N, достаточно малого радиуса б, и введем в рассмотрение положительную гармоническую в D6 функцию
где d — диаметр области D, а е — произвольное положительное число.
В силу (199), (200) для любого е>-0, начиная с определенного значения б>0, краевые значения на границе Sa области D6 гармонических в этой области функций v (г) —
— и (г) и v (г) и (г) положительны. Поэтому в силу принципа экстремума заключаем, что в любой точке г е
N, (199)
N
(200)
19*
\u(z)\<v(z).
(201)
276
ГЛ. VI. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИИ
Поскольку любая фиксированная точка zeD, начиная с определенного значения 8>0, лежит в Da, в силу произвольности е из (201) следует, что и (г) — 0.
Из доказанного утверждения сразу вытекает единственность решения задачи Дирихле для гармонических в ограниченной области D функций, непрерывных в D\]S всюду, кроме точек tk^S, k=l, ..., N, при наличии в этих точках разрыва первого рода у искомого решения или при допущении его обращения в бесконечность слабее, чем log I г — /А| при z-*- tk.
Вопрос существования решения задачи Дирихле с разрывными краевыми условиями будет рассмотрен в следующем пункте, когда область D — единичный круг.
2°. Справедливость формулы Пуассона решения задачи Дирихле при наличии разрывов в краевых условиях. В пункте 2° § 2 главы I формула Пуассона, дающая решение задачи Дирихле
ы(0 = /(О), * = 0^Ф^2л, (202)
в круге |г|< 1, была выведена в предположении, что ы(г) непрерывна в замкнутом круге |г|«^1.
Предположим теперь, что функция /(Ф) в краевом условии (202) непрерывна на окружности | /1 = 1 всюду, кроме точки <о = разрыва первого рода:
lim (0) = Г, Нт /(О)-Г. ГФГ-. (203)
Ф «¦* ^—0 Ф —* О® 4“ 0
Обозначим через щ(г) гармоническую функцию
«о (г) — {п~ (Г - Г) arg (г -10), (204)
где под arg (г — <0) понимается главная ветвь этой функции. Пусть h (О) и0 (е*#), 0<,Ф«^2л. Очевидно; что
11т ЫО)«(1+а)(Г-Г).
о-*#,—о
Нт МО)-а(Г-П. (205)
О-.О. + 0
где ла —угол, составленный положительным направлением касательной к окружности | | = 1 в точке е*#» с положи-
тельным направлением действительной оси у=*0. функция
Ч>(0)-/(0)-М<>) (206)
§ 6. ПОСТРОЕНИЕ ПРИБЛИЖЕННОГО РЕШЕНИЯ 277
непрерывна всюду, кроме точки t0, а в точке t0 в силу (203), (205)
lim ф(Ф)= lim ф(0) = (1 +а)/+ — af~. (207)
» ->О0 — 0 О _ о, + о
После доопределения заданной формулой (206) функции ф(Ф) в точке t0 как
Ф(Ф0) = lim ф(0)
в-* до
она становится непрерывной всюду на окружности |/| = 1.
При построении гармонической в круге | z | < 1 функции Ui (г), непрерывной в замкнутом круге | z | 1 и при-
нимающей на окружности 111 = 1 значения ф (О), мы вправе пользоваться формулой Пуассона (90) главы II:
Mz)= 2^ J -^^ф({>)<*0. (208)
i/i = ]
Гармоническая в круге | г |< 1 функция и (г), определенная по формуле
и (г) = ^ (г) + ы0 (г), (209)
непрерывна в замкнутом круге |г| ^ 1 всюду, кроме точки t0, причем
lim и(г) = /(Ф),
г-./,
I г I < 1
Когда оке точка z изнутри круга | г | < 1 стремится к точке U разрыва функции / (О) вдоль луча arg (г — /0)=п|3, где лР — угол, составленный вектором z — t0 с положительным направлением действительной оси, то в силу (204), (207) и (209) получаем
lim ы(г) = (1 — Я)^ + А/-, (210)
где X = р — а.
Аналогичная картина имеется и тогда, когда функция /(Ф) имеет конечное множество точек разрыва первого рода. Что же касается единственности решения задачи Дирихле (202) в классе ограниченных гармонических функций, она была доказана в предыдущем пункте.
