Нелинейные волны в одномерных диспергирующих системах - Бхатнагар П.
Скачать (прямая ссылка):
Из (1.24) следует, что сами группы распространяются со скоростью
dxjdt = 60/66 = 0/ (k) при 6&-»-0, (1.25)
16
I. Линейные волны
где штрих означает дифференцирование по k. Таким образом, групповая скорость Vg дается выражением
у __________ Приращение частоты волны в группе
? ' ' Приращение волнового числа в группе
Проведенная выше дискуссия раскрывает физический смысл групповой скорости. Напомним, что мы определили фазовую скорость как отношение Vp = <a/k.
Диспергирующие и недиспергирующие волны
Как фазовая, так и групповая скорости, вообще говоря, являются функциями волнового числа. Легко показать, что если 0, то Vg отличается от Vp и зависит от k таким
образом, что волны различной длины распространяются с различными групповыми скоростями. Рассмотрим возмущение, возникающее вблизи х = 0 в момент времени t = О и представляющее суперпозицию ряда гармонических волн различной длины. Так как компоненты возмущения с различными волновыми числами распространяются с различными скоростями, через некоторое время начальное возмущение растянется на некоторый интервал, который будет расти со временем. В этом случае мы говорим, что волна диспергирует. Очевидно, что волновое число меняется вдоль цуга воли медленно.
При a>"(k) = 0 фазовая и групповая скорости совпадают и разделения волн с различными волновыми числами не происходит. В этом случае мы имеем недиспергирующую волну.
Пример
Подставив (1.16) в (1.1), получим дисперсионное соотношение со == ±ck, так что Vg — VP = ±с и волна, описываемая уравнением (1.1), является недиспергирующей и недис-сипирующей.
1.5. Общее решение линейного волнового уравнения
До сих пор мы рассматривали фурье-компоненты линейной волны. Мы можем получить общее решение уравнения путем сложения этих отдельных фурье-компонент:
оо
q>(x, /)= ^ A (k) exp [/ {kx — <а (k) /}] dk, (1.26)
о
где и = <о(&) — функция волнового числа и параметры задачи определяются дисперсионным уравнением, а спектральная функция А (k) учитывает начальные условия. В принципе мы всегда можем построить спектральную функцию данной задачи, хотя иногда это может оказаться довольно
1.5. Общее решение линейного волнового уравнения
17
трудоемким. Решение (1.26) соответствует начальному условию
ОО
ф(х, 0)= ^ A(k)exp(ikx) dk, (1-27)
— оо
представляющему интеграл Фурье функции ср(х, 0), и поэтому функцию A (k) можно определить по заданной функции ф(х, 0).
Теперь рассмотрим асимптотическое поведение выражения (1.26) при оо. Интересно выяснить, как ведет себя (1.26) по истечении большого отрезка времени t^>tc, где tc — некоторое характерное время, например период Р. Простейшим методом нахождения асимптотического значения (1.26) является метод наискорейшего спуска, называемый также методом седловых точек, или методом перевала. Он требует наименьшего объема сведений о подынтегральных функциях. (В приложении I в конце этой главы мы коротко опишем этот метод; см. также Джеффрис и Джеффрис [1966], Ден-нери и Крживицкий [1967].!)) Запишем (1.26) в форме
оо
ф(х, 0= ^ A(k)exp{it%(k)}dk, (1.28)
— оо
где фазовая функция %(k) задана в виде
%(k) = (x/t)k-a(k). (1.29)
Предположим, что %(k)—аналитическая функция на комплексной плоскости k для фиксированного значения x/t. В большинстве физически интересных задач это предположение справедливо. Седловая точка определяется как точка, в которой фазовая функция %(k) принимает стационарное значение. Таким образом, в данном случае седловые точки задаются уравнением
[dx(k)/dk)xft=const = 0, (1.30а)
т. е. со'(k) — x/t, если ю"(&)=^ 0. (1.306)
Разрешая это уравнение относительно k, получим выражение для седловых точек:
kt = kt(x/t). (1.30в)
Так как путь интегрирования проходит по вещественной оси, достаточно рассмотреть вещественные седловые точки ki.
*> См., кроме того, Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного.—М.: Наука, 1973.—Прим. перев.
18
1. Линейные волны
Для седловой точки ki метод перевала дает следующее асимптотическое выражение функции <р(х, t) при t-*- оо:
<р(х, /)« ytoA(kOexpVtx(*i)+jal= (131а)
т ' U I %" (ki) |} 1
_ V2л A (k{) exp [I {fcjX — (О (ki) t} + га]
{t | со" (kt) \ }1/2
где
а = л/4, если со"(6г)<0,
т. е. х имеет минимум при kit ^ а = — л/4, если со" (k{) > О,
т. е. х имеет максимум при 6/.
