Нелинейные волны в одномерных диспергирующих системах - Бхатнагар П.
Скачать (прямая ссылка):
Для изучения эффекта нелинейности решим уравнения
II (а) при начальном условии (2.2). Характеристическое уравнение для уравнения 11(a) имеет вид
и сохраняется и общее решение уравнения 11(a) таково:
где f — произвольная функция.
На рис. 2.2а и 2.26 сравниваются характеристики для уравнения 1(a) и II (а) в плоскости (х, t). Заметим, что характеристики уравнения 1(a) образуют семейство параллельных прямых с наклоном arctgc к оси t, в то время как характеристики уравнения II (а) в общем случае образуют семейство пересекающихся прямых. Вдоль каждой характеристики последнего семейства и остается определенной постоянной величиной, и наклон характеристики определяется соответствующим постоянным значением и.
Нашу основную идею можно кратко сформулировать так: волна, описываемая гиперболическим уравнением, распространяется с конечной скоростью. В этом смысле мы можем рассматривать каждую характеристику в плоскости (х, t) как движущуюся элементарную волну, и свойство волны,
l = x — ct,
(2.4)
при |?|<я>
(2.5)
2.2.2. Решение 11(a)
dt/l = dx/u = du/0,
(2.6)
так что вдоль характеристики
dx/dt — и
(2.7)
и (х, t) — f (х — ut),
(2.8)
2.2. Эффект нелинейности
39
остающееся постоянным вдоль индивидуальной характеристики, как некоторое количество информации, которую волн;? несет с собой. В этом смысле уравнение 1(a) описывает систему элементарных волн, движущихся с одинаковой постоянной скоростью с, а постоянное значение и, связанное с характеристикой, представляет определенную информацию, которую волна несет с собой. Аналогично уравнение II(а) описы-
Р и с. 2.2а. Характеристики уравнения Рис. 2.2.6. Характеристики уравнена). ния 11(a).
вает систему элементарных волн, движущихся с различными скоростями. Элементарная волна, которая переносит большее значение и, движется быстрее.
Чтобы изучить влияние нелинейности на распространение волнового профиля, найдем решение уравнения 11(a), удовлетворяющее начальному условию (2.2). При начальном условии (2.2) решение (2.8) имеет вид
Когда t мало (^->0), для удовлетворения начальному условию нужно брать только верхний знак перед радикалом в (2.11). Когда t>T (Т еще нужно определить), при х > а в (2.11) допустимы оба знака.
х
X
0
t
0
t
при IE к а, при | § | > а,
(2.9)
где ?, = х — ut. Разрешая (2.9) явно относительно и, имеем
1/2/2) [(2x1 _ 1) ± (1 — 4xt + 4с&2У»\
(2.10)
при | х — ut | > а.
34
2. Некоторые нелинейные уравнения эволюции
Рис. 2.3. Характеристики уравнения II(а) с начальными условиями (2.2),
а != 1.
На рис. 2.3 изображены характеристики II (а) с начальным условием (2.2) в плоскости (x,t) при а= 1. Этот рисунок весьма поучителен как графическое изображение распространения элементарных волн, исходящих из разных точек оси х в момент времени t — 0. Все элементарные волны, исходящие из точек (х, 0), где л: >—1, рано или поздно пересекают характеристики, исходящие из точек х, где х~^\. В точке пересечения двух характеристик получаются два значения и. Ясно, что такая ситуация физически неприемлема. Следовательно, если в этом случае нас интересует единственное ограниченное решение, то мы должны ввести понятие слабого решения, допускающего движущиеся разрывы. В гидродинамике такие разрывы называются ударными волнами. Из рис. 2.3 также очевидно, что точки х = ±а все время остаются неподвижными.
На рис. 2.4 показано распространение импульса (2.2) при а = 1. Когда t растет, профиль и все более и более деформируется. Отсюда мы заключаем, что нелинейность приводит к прогрессирующей деформации начального профиля волны.
Определим теперь Т в этом частном случае. Начальный профиль имеет как положительный, так и отрицательный наклоны. В частности, при х = а наклон отрицателен:
их (а, 0) = — 2а < 0. (2.12)
2.2. Эффект нелинейности
35
Ясно, что функция и(х, t) при х ^ а может быть неоднозначной только тогда, когда их(а, t) > 0. Минимальное значение ty для которого выполняется это неравенство, и есть наше Т. Кроме того, ux(a,t) может переходить от отрицательных
Рис. 2.4. Распространение параболического импульса, описываемого уравнением II (а) для а = 1.
значений к положительным только через бесконечность. Далее из (2.11) имеем
их (a, t) = (l/2f2) [21 =F 2f/(l — 2at)], (2.13)
поэтому T = l/2a. (2.14)
Предыдущие рассуждения легко распространить на профили импульсов более общего вида, чем было принято в (2.2). Пусть начальный профиль задан следующим образом:
( fix) при
