Нелинейные волны в одномерных диспергирующих системах - Бхатнагар П.
Скачать (прямая ссылка):
[1965] Group velocity. — J. Ins. Math, and its Appl., v. I, p. I—28. Эддингтон (Eddington A. S.)
[1926] The internal constitution of stars. — Camridge Univ. Press.
ЛИТЕРАТУРА, ДОБАВЛЕННАЯ ПЕРЕВОДЧИКОМ
Краснушкин П. Е.
[1963] Нормальные волны. — В кн.: Физический энциклопедический
словарь. — М.: Советская энциклопедия, т. 3, с. 435—439.
Пр иложение 1 МЕТОД ПЕРЕВАЛА
Метод наискорейшего спуска, называемый также дебаев-
ским методом перевала, излагается в большинстве курсов
математической физики. Изложим основные положения этого метода, с тем чтобы они находились под рукой.
Рассмотрим интеграл типа
/ (/) = ^ exp {tf (г)} g (г) dz, (I. 1)
С
где без потери общности будем считать t вещественной и положительной величиной, а функции f(z) и g(z) аналитическими в некоторой области изменения комплексного переменного г, содержащей контур интегрирования с. Будем интересоваться асимптотическим значением I (t) при t->oо.
Положим f(z) = ф (х, у) -f- п|) (х, у), где ф и — вещественные функции х = Re z и у = Im z. Теперь запишем экспоненциальную часть подынтегрального выражения в виде
exp {tf (2)} = exp (^ф) exp (г7ф). (I. 2)
Вклад экспоненциального множителя подынтегрального выражения в I(t) порождается частью контура с, в которой ф достигает относительного максимума (очевидно, что если f(z)—аналитическая функция, то ф и я|з не могут достигать абсолютного максимума или абсолютного минимума), если только осцилляции, вызванные в нем членом ехр(гЪ|)), не уничтожают вклад exp(frp). Поэтому ясно, что мы должны
24
1. Линейные волны
сперва найти на контуре точки, в которых <р(х, у) достигает относительного максимума, и деформировать контур с в окрестности каждой из этих точек таким образом, чтобы вдоль этого деформированного пути функция г|) была постоянной; это исключит частую смену знака экспоненциального множителя.
Стационарные точки функции f(z) задаются уравнением
Г(г) = о. (1.3)
Пусть 20 — один из корней (1.3), и пусть с0 — путь, проходящий через точку z0 и деформированный так, что <р = = Rе/(г) достигает относительного максимума при z — zo, а г|) = 1т/(г) остается постоянной вдоль контура с0. Таким образом, если г — точка в окрестности г0, то выберем с0 так, чтобы на нем
Im / (z) = Im / (z0). (1.4)
По теореме Тейлора мы можем разложить f(z) в окрестности г0 в ряд
f(z) = f (г0) + -^(г — *0? f" (z0) + • • • >
так как /' (z0) — 0 в силу (I. 3).
Выбрав z достаточно близким к z0, мы можем, не совер* шая существенной ошибки, приближенно положить
f(z) = f (z0) + ^ (z — zQ)2 f" (z0), (I. 5)
что с учетом (1.4) приводит к выражению
Re [/ (г) - / (2о)] = 72 (г - 20)2 f" (г0). (I. 6)
Таким образом, правая часть (1.6) также вещественна. Теперь положим в выражении (1.5)
2 — z0 = т ехр (г'0), (1.7)
V2/" (г0) =/? ехр (га), (1.8)
где г0 —фиксированная точка, a R и а — постоянные. Отсюда
Re [/ (2) — / (20)] = r2R cos (20 + а), (1.9)
Im [/ (2) — / (z0)] = r2R sin (20 + а). (I-10)
Принимая во внимание (1.4), получим вдоль Со
*in(20 + a) = O, т. е. 0 = — а/2 + пп/2, п = 0, 1, 2, 3. (1.11)
Приложение I
25
Рис. I. 1. Разделение плоскости г в окрестности г0 на четыре области, в которых Re f(z) > Ref(z0) и Re {(г) < Re /(г0). На рисунке показаны также прямые, на которых Imf(z) постоянна.
Подставляя это значение 0 в (1.7), получаем
. f + ПРИ п — 0,
* = z0±rexp(—w/2)< (1.12)
(. — при п = 2;
z = г0 ± г ехр {/ (— а/2 + я/2)} { ПрИ ™ ’ (1.13)
(. — при п — 3.
Уравнения (1.12) и (1.13) описывают на плоскости г две прямые линии, проходящие через го и образующие с вещественной осью z углы —а/2 и я/2 — а/2. Аналогично Re[f(z)—
— f(zo)] = 0. причем cos (20 + а) = 0, т. е. 0 = (2п + 1)(я/4)—а/2, п— 0, 1, 2, 3. Подставляя эти значения в (1.7), получаем две прямые, проходящие через точку z0 и образующие с вещественной осью углы я/4 — а/2 и Зя/4 — а/2:
2=20±лехр{/(я/4 —а/2)}(+ ПрИ ” (1.14)
(. — при п = 2;
z = z0 ± л ехр {г (Зя/4 — а/2)} { Ри n (1.15)
I — при п = 3.
Прямые (1.14) и (1.15) делят плоскость z в окрестности точки zo на четыре сектора,в которых попеременно Ref(z)> >Re/(z0) и Ref(z) < Ref(zo), как показано на рис. 1.1.
26
1. Линейные волны
Так как между двумя смежными нулями косинуса лежит один и только один нуль синуса, в каждом секторе имеется одна и только одна прямая, на которой 1т/(г) постоянна. Эти прямые проведены также на рис. 1.1, а на рис. 1.2 изображена поверхность S, уравнение которой определяется зависимостью Ref (г) от Res и 1тг; точка Р0 на S соответствует точке г0. Точки поверхности S, соответствующие точкам г в секторах II и IV, например, лежат ниже Р0, в то время как точки S, соответствующие секторам II и III, расположены выше Ро. Таким образом, мы можем мысленно
