Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Бхатнагар П. -> "Нелинейные волны в одномерных диспергирующих системах " -> 4

Нелинейные волны в одномерных диспергирующих системах - Бхатнагар П.

Бхатнагар П. Нелинейные волны в одномерных диспергирующих системах — М.: Наука, 1989. — 134 c.
Скачать (прямая ссылка): nelineyniesistemivodnorodih1989.djvu
Предыдущая << 1 .. 2 3 < 4 > 5 6 7 8 9 10 .. 52 >> Следующая


X = {(Ап + 5) (я/2Л) + ct} - {{Ап + 1) (я/2Л) + ct} = 2n/k. (1.9)

Из (1.6) ясно, что k определяет число волн, укладывающихся на отрезке единичной длины (в данном случае за единицу длины принято 2л), и называется волновым числом. Все точки на графике функции ф в данный момент времени с разностью абсцисс, кратной к, находятся в одинаковой фазе.

В фиксированной точке с абсциссой, равной, например, jci, функция ф колеблется со временем t, имея период

Р = 2я/со. (1.10)

Величина со = 2п/Р называется (угловой) частотой волны; она определяет число волн, прошедших через данную точку в единицу времени (здесь за единицу принято 2л). Если вместо (1.5) возьмем

f {х — ct) — a sin {kx — со/), ^ ^

g{x + ct) = а sin {kx + со/), * ^

то

Ф = 2а cos со/ • sin kx. (1.12)

В этом случае мы можем изучать изменения величины ф по времени ( и по пространственной координате х независимо
12

1. Линейные волны

друг от друга. Такой выбор соответствует, очевидно, следующим начальным условиям для ср:

Ф (*,0) = 2а sin kx, срДя, 0) = 0. (1.13)

Точки х = rm/k, в которых все время ф = 0, называются узлами волны. Точки х = (2п + 1)n/2k, в которых ф достигает максимальных значений, называются пучностями. Решение (1.12) получается в результате суперпозиции двух синусоидальных бегущих волн, имеющих равные амплитуды, длины волн и частоты и распространяющихся в противоположных направлениях. Во всех точках, за исключением узлоа, функция ф колеблется с периодом Р, ее амплитуда в пучностях максимальна и равна 2а, т. е. сумме амплитуд составляющих компонент — волн / и g. Поскольку при этом нег переноса энергии или количества движения между участками волны, разделенными узлами, волна, представленная выражением (1.12), называется стоячей. Узлы и пучности характерны для стоячей волны.

Из сказанного выше ясно, что решение уравнения (1.1) при одних условиях описывает бегущую волну, а при других — стоячую. Мы также знаем, что поперечные волны в туго натянутой струне, точки которой движутся перпендикулярно направлению распространения волны, математически описываются уравнением (1.1). Это уравнение описывает также продольные звуковые волны в воздухе, когда частицы воздуха колеблются относительно своего среднего положения в направлении распространения волны.

1.3. Общее линейное уравнение; дисперсионное соотношение

Указанные выше термины мы ввели с помощью уравнения частного вида, называемого стандартным линейным волновым уравнением. Рассмотрим теперь общее линейное уравнение в частных производных от двух независимых переменных х и t:

Цф] = 0, (1.14)

где L — линейный дифференциальный оператор ¦>. Если заданы начальные условия

ф (х, 0) = %(*)» фЛ*> 0) = ф! (х), (1.15)

то с помощью преобразования Лапласа это уравнение можно свести к обыкновенному дифференциальному уравнению от переменной х в предположении, что функции ф<(х) достаточно гладкие. Обыкновенное линейное дифференциальное уравне-

ч С постоянными коэффициентами. — Прим. перев.
1.3. Общее линейное уравнение; дисперсионное соотношение 13

ние при выполнении определенных условий можно решить по крайней мере в принципе, если заданы необходимые краевые условия. Однако в данный момент нас не интересует такой подход, поскольку мы заняты общим изучением уравнения (1.14). В силу линейности этого уравнения можно построить общее решение в виде суперпозиции различных фурье-компо-нент. Для этого подставим в уравнение (1.14)

ср = аехр {/ {kx — со/)}, (1-16)

предположив теперь, что независимые переменные х и t не входят явно в это уравнение и что оно однородное. Такая подстановка исключает все производные по t и х {d/dt—r ->---ко, d/dx->-ik) и приводит (1.14) к следующему соот-

ношению:

D (со, k- Лг) = 0, (1.17)

где Л,- — параметры, фигурирующие в уравнении (1.14). Уравнение (1.17) является дисперсионным соотношением, определяющим частоту волны со в зависимости от волнового числа и параметров Л,-. Запишем его формально в виде

со = со(&; Л(). (1-18)

Число корней уравнения (1.17) зависит от степени п этого алгебраического уравнения относительно со. Очевидно, п равно порядку высшей производной по / в уравнении (1.14). Будем рассматривать каждый корень уравнения (1.17) в от-

дельности, поскольку каждый из них порождает отдельную волну, называемую модой ¦>.

Рассмотрим произвольный корень

со = со(А:). (1.19)

Здесь мы опустили зависимость со от Л,-, так как в предстоящем рассмотрении эти параметры не играют существенной роли. Соответствующая фурье-компонента выражается в виде
Предыдущая << 1 .. 2 3 < 4 > 5 6 7 8 9 10 .. 52 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed