Нелинейные волны в одномерных диспергирующих системах - Бхатнагар П.
Скачать (прямая ссылка):
Пхулан Прасад
Индийский институт науки
Бангалор
Август 1977
Линейные волны
1.1. Введение
В этой главе мы обсудим некоторые важные свойства линейных волн, описываемых линейными уравнениями и обычно называемых волнами с малой амплитудой, что в действительности означает волны с бесконечно малой амплитудой. При включении данной главы в монографию по нелинейным волнам мы преследовали три цели: (1) ввести необходимую терминологию, (2) обратить внимание на некоторые важные свойства, необходимые для понимания явлений, связанных с нелинейными волнами, которые описываются нелинейной, системой гиперболических уравнений, и (3) подготовить фон, на котором можно выделить и сравнить свойства линейных и нелинейных волн.
Заметим, что в данной монографии, как правило, исследуются одномерные волны, когда в рассмотрение входят только две независимые переменные, х и t. При этом х обозначает пространственную координату, a t — время. В рамках этой простой модели удается ввести всю «волновую» терминологию: длину волны, волновое число, период, частоту, амплитуду, фазовую и групповую скорости и т. д.
1.2. Линейное волновое уравнение: волновая терминология
Начнем со знаменитого волнового уравнения
Ф«==С2ф^, (1.1)
где ф описывает некоторое свойство, связанное с волной, а с2 — положительная константа. Это уравнение определяет пространственно-временную эволюцию величины ф в однородной изотропной консервативной системе. Заметим, что и в самом общем случае мы определим волну как пространственно-временную эволюцию некоторого состояния.
Мы можем записать общее решение (1.1) в виде
ф(лг, /) = f (х — ct) + g (х + ct), (1.2)
где f и g— произвольные функции. Первый член в (1.2), как известно, представляет распространяющуюся волну, бегущую в положительном направлении оси х с постоянной скоростью с, а второй член — распространяющуюся волну, бегущую
с той же скоростью в отрицательном направлении оси х.
10
1. Линейные волны
Аргумент x — ct^p; волны / называется ее фазой. Аналогично х + ct = pg называется фазой волны g. Очевидно, что р; является константой в пространстве-времени, если dpf/dt = 0, т. е. если dx/dt —с. Таким образом, наблюдатель, движущийся вместе с волной / со скоростью с, будет всегда отмечать одну и ту же фазу волны /, т. е. одно и то же состояние волнового движения, соответствующее начальному значению величины /. Аналогично наблюдатель, движущийся со скоростью dx/dt = —с вместе с волной g, будет всегда регистрировать одну и ту же фазу pg, т. е. одно и то же значение g, с которого он начал движение. Изложенное выше придает физический смысл терминам фаза и скорость волны, называемой также фазовой скоростью.
В периодической распространяющейся волне (скажем, когда /—периодическая функция р;, a g = 0) точка, в которой ф имеет максимум, называется гребнем, а точка, в которой ф минимальна, — впадиной волны.
Пользуясь терминологией гиперболических уравнений в частных производных, к которым принадлежит (1.1), мы скажем, что это уравнение обладает двумя вещественными характеристиками в плоскости (х, t):
С+: dx/dt = с, С~: dx/dt — — с. (1.3)
Здесь f = const вдоль первой характеристики С+, a g —
— const вдоль С~. Таким образом, уравнения f — const и g ~ = const являются условиями совместности.
Заметим, что описываемый уравнением (1.1) факт распространения волн в двух противоположных направлениях не является неожиданным. Это уравнение инвариантно относительно преобразования
х~> — х, t— t, (1.4)
время в нем обратимо, и мы можем изучать будущее волны с таким же успехом, как и ее прошлое. В противоположность этому в гл. 2 мы рассмотрим однонаправленные эволюционные уравнения.
Конкретизируем теперь функции / и g, положив, например,
/ (х — ct) = а sin (kx — at), с — (o/k, g(x + ct) = 0, (1.5)
где ю и k — постоянные. Тогда
fp = a sin {kx — at) (1.6)
представляет периодическую бегущую волну с амплитудой а и волновой скоростью с, определяемой равенством
a — kc, или c — a/k. (1.7)
Выражение (1.6) является решением уравнения в частных
1.2. Линейное волновое уравнение: волновая терминология
11
производных (1.1) при начальных условиях:
Ф(х, 0) = а sin {kx), ф*(*, 0) = — соа cos {kx). (1.8)
Для фиксированного / величина <р изменяется синусоидально по х, как показано на рис. 1.1.
Для любого момента времени / точки х = (4п + 1)л/2? + '+ ct, где п = 0, +1, ±2, ..., соответствуют максимальным значениям ср, т. е. гребням волны, а точки х = 4(п + 3)n/2k -f-•+ ct—минимальным значениям ср, т. е. впадинам. Термины гребень и впадина отражают геометрическую форму графика
функции ф (рис. 1.1). Расстояние между двумя последовательными гребнями (или впадинами) называется длиной волны и обозначается через К:
