Нелинейные волны в одномерных диспергирующих системах - Бхатнагар П.
Скачать (прямая ссылка):
Вклад других седловых точек аналогичен, поэтому, принимая во внимание все седловые точки (пусть их будет т), получаем
щ .—
A (ki) у2я exp [/ {kjX — (О (ki) /} — (in/4) sign a" (kj)\
{< I a>" (kt) | }1/2
(1.33)
q>(x, /)»?
где
,,,, 4 = — 1, если со" (ki) < 0, sign CO (ki) (L34^
= 1, если со («;) > 0.
Асимптотическое выражение (1.316) для функции ц>(х, /)
является несколько неожиданным по ряду причин:
1. Оно описывает локально гармоническую волну, хотя начальная волна не была гармонической; заметим, что, в силу
(1.30в), ki и со (ki) меняются в зависимости от x/t.
2. Асимптотически при t Р остается дополнительная фаза, равная я/4, если групповая скорость a'(k) уменьшается с ростом k, и равная —я/4, если групповая скорость со'(k) увеличивается с ростом k.
3. Если со" (ki)=^= 0, то на расстояниях порядка х и для времен порядка / амплитуда A(t) волны
А (0 — ^ А^\ (1.35)
U | «о" (ki) | }1/2 v
уменьшается обратно пропорционально квадратному корню из t. Это видно из следующего анализа изменения k с изменением х и t. Предположив, что со" (ki) Ф 0, и переписав (1.306) в явной форме относительно х, для седловой точки k получим
x = a'(k)t. (1.36)
1.5. Общее решение линейного волнового уравнения
19
Вычислив частные производные по х и t, получим
kx to' (k) 1 ./п
k ka>" (k) х \х)'
(1.37)
(1.38)
Так как мы рассматриваем большие значения времени (t^>P) и большие расстояния (х А,), приведенные выше выражения предсказывают относительные изменения порядка 0(1) лишь для времен и расстояний порядка T(~t) и Ь(~х) соответственно. Поэтому на расстояниях порядка d (1 < L) и для времен порядка т (Р<Ст<С Г) изменениями k, а значит, и со (/г) можно пренебречь. Действительно, именно в силу приведенных рассуждений мы пренебрегли изменениями A(ki) и со"(ki) при описании асимптотического поведения величины А в зависимости от t на основе выражения (1.35). Весьма эффективная нелинейная теория диспергирующих волн, изложенная в гл. 5, опирается на этот факт.
С первого взгляда спад амплитуды волны в недиссипативной системе кажется удивительным. Однако нетрудно понять, что причиной этому является перераспределение энергии начальной волны на все более растягивающийся цуг волн, удлиняющийся со временем из-за дисперсии. То, что наши доводы правильны, следует из элементарного рассуждения. Энергия между волновыми числами ki и ki + dk сначала пропорциональна A2(ki)dk. По истечении времени t интервал между этими волновыми числами становится равным
Таким образом, теперь плотность энергии пропорциональна A2(ki)dk/[t\(?>" (ki)\dk\. Так как плотность энергии волны пропорциональна квадрату амплитуды, амплитуда волны в момент времени t оказывается пропорциональной
Примечание. Если &)"(ki) — 0, то приведенные выше рассуждения следует существенно изменить. Лайтхилл [1965], используя теорию асимптотического поведения интеграла Фурье, показал, что вклад седловой точки ki в ф(л:, t) в асимптотическом приближении при «/"(/г,)^ 0 равен
Ф (*, t) « A (k,) exp [/ {ktx — со (ki) 0] (7з) I V3 /[(t/6) | (kt) \ ]1/3
11ш' (kt) — ta>' (ki + dk) I « / I со" (k{) | dk.
A(ki)/{t\al,(ki)\y/2.
(здесь ('/з)! = Г (4/3)).
(1.39)
Таким образом, амплитуда теперь убывает обратно пропор ционально кубическому корню из t.
20
7. Линейные волны
1.6. Распространение энергии в диспергирующей волне
Теперь мы определим скорость, с которой энергия распространяется в диспергирующей волне. Рассмотрим две волны с волновыми числами k\ и k2, возникшие в момент t — 0 в точке х = 0 и распространяющиеся со скоростями V\{k\) и V2(k2) соответственно. По истечении достаточно большого времени t эти волны окажутся в точках х\ и х2, где
Xi = V,(kt)/ и x2 = V2(k2)t. (1.40)
Здесь V\ и V2—групповые скорости, соответствующие волновым числам ki и k2. В момент времени t значение ф определяется выражением (1.316), представляющим приближенно гармоническую волну, если пренебречь медленными изменениями ki и со (ki) в зависимости от х и t. Поэтому энергия В волны, заключенная между Х\ и х2, может считаться пропорциональной выражению
Vit
Г 2пАг (ki) sin2 [kix — со (k{) t ± я/4} dx ....
J / I to" (ki) I • U'4U
