Нелинейные волны в одномерных диспергирующих системах - Бхатнагар П.
Скачать (прямая ссылка):
Ф (я, /) ~ exp [/ {kx — со (k) /}].
Временная эволюция величины ф зависит от свойств величины a(k). Рассмотрим следующие случаи:
1. Если a(k) вещественна, то приведенная выше фурье-компонента представляет гармоническую бегущую волну.
2. Если со(&) = г®2 {k) — чисто мнимая величина, то
__________ Ф (я, /) ~ exp (ikx) exp {со2 {k) /},
!> Английский термин mode или normal-mode, который переведен здесь как «мода», имеет два смысла, уточняемых терминами «нормальная волна» и «нормальное колебание». В первом случае частота со задается вместе с внешним воздействием (фактически это — особое вынужденное колебание). Во втором случае частота определяется самой системой, так как речь идет о собственных колебаниях. Автор использует термин мода в обоих смыслах. — Прим. перев.
14
1. Линейные волны
и мы получим ^распространяющуюся стоячую волну. Если Imco(&)>0, то ф с ростом t экспоненциально возрастает, а если 1тсо(&)<;0, то ф экспоненциально затухает с ростом t. Таким образом, в первом случае мы имеем дело с нарастающей (усиливающейся) волной, а во втором случае — со спадающей (затухающей) волной. В первом случае начальное возмущение системы неограниченно растет, и говорят, что система нестабильна относительно данной моды. Во втором случае говорят, что система относительно данной моды стабильна.
3. Пусть со (ft) = (Di(&) + m2{k), где coi и со2 вещественны. Тогда
ф ~ exp [/ {kx — со! (k) /}] exp (со2 (k) t),
и при ©2 — Irnoo < 0 получаем гармоническую волну с экспоненциально убывающей амплитудой. Система в этом случае будет стабильной относительно рассматриваемой моды. Если 1гп(о>0, то получим гармоническую волну с экспоненциально нарастающей амплитудой. Система оказывается нестабильной относительно рассматриваемой моды; Эддингтон [1926] называет такой тип нестабильности перестабилизовакностью, так как она порождена восстанавливающей силой столь интенсивной, что эта сила заставляет проскакивать положение равновесия системы. Такая сила порождает колебания с возрастающей амплитудой.
Проведенное выше обсуждение дисперсионного соотношения ясно показывает важность этого соотношения при рассмотрении отклика системы на начальное возмущение, которое в первый момент предполагается бесконечно малым. Дисперсионное соотношение дает, кроме того, основу для другой классификации волн. Пусть уравнение (1.19) определяет вещественные со для каждого k: 0 ^ k < оо. Если d2u>/dk2 = = a"(k)^0, то говорят, что волна диспергирующая. Если (o"(fe) = 0, то говорят, что волна недиспергирующая. Такая классификация позволяет ввести новую характеристическую скорость, называемую групповой скоростью и обозначаемую через Vg = a' (k).
Наконец, на основе дисперсионного соотношения возможна еще одна классификация волн. Если выражение (1.19) определяет комплексное значение со, то говорят, что волна дис-сипирующая если со действительное, то волна недиссипи-рующая. Диссипирующие волны связаны с затуханием амплитуды со временем, которое возникает благодаря некоторому диссипативному механизму, имеющему место в системе.
п В английском тексте она называется diffusive. Мы изменили название, чтобы не смешивать с волнами диффузии, и подчеркиваем в нем диссипативный механизм системы. — Прим. перев.
1.4. Диспергирующие волны; групповая скорость
15
1.4. Диспергирующие волны; групповая скорость
Введя понятие групповой скорости и определив формально понятия диспергирующих и недиспергирующиих волн, мы придадим им теперь определенный физический смысл.
Групповая скорость
Рассмотрим суперпозицию двух гармонических бегущих волн, немного различающихся по частоте и волновым числам, но имеющих одинаковые амплитуды:
Ф[ (х, t) —a cos (kx— со/1). (1.20)
(Ра (jc, t) = а cos {(k + 6k) х — (со -f 60) /}. (1-21)
В результате сложения получим известное выражение для биений:
Ф — Ф; + Ф2 —
= [2a cos {'/2 (xbk — /60)}] cos {(k + bk/2) x — (со -f 60/2) /}. (1.22)
Величина колеблется с частотой со + '/гбсо, немного отличающейся от со, и имеет длину волны, немного отличную от X —
— 2n/k. Суммарная амплитуда
А — 2а cos { V2 {xbk — tbco)} (1.23)
медленно меняется с периодом 4зх/6со и характеризуется длиной волны 4n/8k, определяемой как интервал между смеж-
Рис. 1.2. Возникновение «биений» (групп) в результате суперпозиции двух
гаромонических волн.
ными пучностями. Поскольку бсо и 8k малы, период и длила волны А велики.
В результате усиливающей и ослабляющей интерференции графики функции ф как по временной, так и по пространственной осям представляются в виде ряда периодически повторяющихся групп, показанных на рис. 1.2. Каждая групп:! состоит из нескольких волн. Поверхность, на которой амплитуда группы остается неизменной, определяется уравнением
xbk — /бсо = const. (1-24)
