Нелинейные волны в одномерных диспергирующих системах - Бхатнагар П.
Скачать (прямая ссылка):
2
Некоторые нелинейные уравнения эволюции (стационарное решение)
2.1. Введение
Хорошо известно, что задачи с начальными и граничными условиями для нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных очень трудны для решения общим методом. Некоторые частные задачи анализировались от случая к случаю методами, пригодными лишь для этих задач. Нелинейные волны, о которых сейчас пойдет речь, описываются нелинейными уравнениями в частных производных. В данной главе мы ограничимся изучением некоторых простых модельных уравнений нелинейных волн, которые привлекали значительное внимание в течение последних лет десяти. Это поможет нам сравнительно легко понять роль таких факторов, как нелинейность, диссипация и дисперсия, в пространственно-временной эволюции некоторого процесса. В этом фактически и заключается главная цель настоящей монографии. В соответствии с этим намерением мы предпримем сравнительное изучение двух классов уравнений: линейных (класс I) и нелинейных (класс II) уравнений.
Класс I линейных уравнений
(a) ut + сих = 0, с = const;
(b) ut + сих — \хихх = 0, с, ц — const, ц > 0;
(c) ut -f- сих -f- Киххх — 0, с, К — const, К>0.
Класс 11 нелинейных уравнений
(a) ut + иих = 0;
(b) ut + иих — \iuxx = 0 (уравнение Бюргерса);
(c) ut + иих + Киххх = 0 (уравнение Кортевега —де Фриза (КдФ)).
Уравнение Бюргерса является простейшей моделью дисси-пирующих волн и при некоторых упрощающих предположениях помимо всего прочего охватывает следующие случаи: турбулентность (где это уравнение впервые появилось), звуковые волны в вязкой среде, волны в вязкоупругих трубках, наполненных жидкостью, магнитогидродинамические волны в среде с конечной электропроводимостью. Уравнение КдФ представляет собой простейшую модель диспергирующих волн и при определенных упрощающих условиях охватывает волны следующих типов: длинные волны на поверхности
30
2. Некоторые нелинейные уравнения эволюции
жидкости, плазменные волны, волны в решетках, слабо нелинейные магнитогидродинамические волны. Широкая область применения этих уравнений является главной причиной того, что в течение последнего десятилетия они привлекали внимание математиков.
В гл. 1 мы определили диспергирующие и диссипирующие волны при помощи дисперсионного соотношения, полученного методом Фурье. Мы не можем применить метод Фурье к нелинейным уравнениям и поэтому должны найти другой способ классификации этих волн. Обычно говорят, что волна, описываемая нелинейным уравнением, является диссипирую-щей или диспергирующей в зависимости от того, является ли диссипирующей или диспергирующей волна, описываемая соответствующим линеаризованным уравнением. В настоящей главе наши усилия будут направлены на определение в этих уравнениях сравнительной роли нелинейных членов и членов, содержащих производные второго порядка и выше по пространственной координате.
2.2. Эффект нелинейности
Для изучения эффекта нелинейности решим уравнения 1(a) и П(а) из разд. 2.1 при одинаковых начальных условиях. Начальные данные намеренно выбраны настолько простыми, чтобы физические факты не утонули в сложных математических выражениях.
2.2.1. Решение уравнения 1(a)
Это уравнение линейно, и, используя метод Лагранжа, можно сразу написать его общее решение:
и(х, t) = f(x — ct), (2.1)
где f — произвольная функция. Соотношение (2.1) описывает волну, движущуюся со скоростью с в положительном направлении оси х.
Конкретизируем теперь f, принимая следующее начальное условие:
( а2 — х1 при | х I ^ а,
и (х, 0) = < (2.2)
(.0 при |л:| > а, '
где а > 0. Соотношение (2.2) описывает параболический импульс, распределенный на отрезке —а ^ х ^ а. С учетом условий (2.2) решение (2.1) принимает вид
( а2 — (х — ct)2 при | х — ct I ^ а,
о (*,0 = 1 n , 'I" (2.3)
(. 0 при | * — ct j > а.
Рис. 2.1. Эволюция параболического импульса согласно выражению (2.3), где а = 1, с — '/г, масштаб по оси и: 1 ед. = 3 см; по оси х: 1 ед. = 1 см.
32
2. Некоторые нелинейные уравнения эволюции
Переходя к движущейся системе координат, определяемой соотношением
перепишем это решение в следующей удобной форме:
Решение (2.5) не зависит явно от времени t и поэтому называется стационарным. В настоящей главе мы будем рассматривать большей частью только такие стационарные решения. На рис. 2.1 показано распространение (эволюция) начального параболического импульса по х и t. Решение (2.5) описывает такой же импульс, что и начальный, центр которого за время t сдвигается на ct в положительном направлении оси х. Мы отразим этот факт, говоря, что решения уравнения 1(a) представляют собой волны, движущиеся без изменения формы со скоростью с в положительном направлении оси х.
