Нелинейные волны в одномерных диспергирующих системах - Бхатнагар П.
Скачать (прямая ссылка):
сравнить S с конским седлом (отсюда происходит название метода: метод седловых точек).
Теперь очевидно, как выбрать путь с0, проходящий через 20, вдоль которого должно быть выполнено интегрирование таким образом, чтобы получить наибольший вклад в /(() на участке пути с0 наименьшей длины:
Re [(г) будет иметь относительный максимум в точке го, если с0 лежит в секторах II и IV. Так как мы требуем, чтобы вдоль с0 функция 1т/(г) была постоянной, то путь с0 должен проходить вдоль линий, на которых
sin (20 + а) = 0. Очевидно поэтому, что с0 проходит вдоль
прямой А2А4. Теперь мы покажем, что производная функции Re/(г) в точке г0 вдоль прямой А2А4 будет максимальна. Выпишем производные от ф и \|з в точке г0 вдоль направления, образующего угол 0 с вещественной осью г:
ф5 = cos 0 + фу sin 0, г|з5 = cos 0 + sin 0.
Экстремальные значения ф5 определяются условием dcps/dQ = = 0, т. е. направлением 0, задаваемым уравнением
sin в/сру = cos 0/ф* = l/Vq5^ + Фу . (1-16)
и, следовательно,
д\/дв2 = - 2фхф/у/ф^+ф2\ (I. 17)
В этом направлении в силу условий Коши — Римана
= [+,Ф« + fyPj/V + 4$ = °- (1Л8)
Рис. 1.2. Поведение функции Ref (г) в окрестности седловой точки Zq.
Приложение I
27
Итак, желаемый результат доказан; ф5 достигает максимального значения на направлении 0, вдоль которого Im f(z) постоянна. Таким образом, вдоль линии Л2Л4 величина Ref(z) имеет наибольший из всех возможных наклонов. Благодаря этому свойству метод получил название «метод наискорейшего спуска».
Мы можем легко обобщить этот метод на случай учета членов более высокого порядка в разложении (1.5). Однако теперь пути, вдоль которых Imf(z) постоянна, будут кривыми, касательными к которым в седловой точке z0 являются прямые Л1Л3 и Л2Л4. Переписав (I. 5) в виде
/(г) = /(г0)-|2, (1.19)
где
?2 = -‘/ 2(z-z0ff"(z0), (1.20)
мы обнаружим, что ?2— вещественная положительная величина, поскольку (1.19) фактически означает, что Ref(z0) —
— Ref(z)=?2, так как мнимая часть постоянна вдоль пути с0, а в точке z0 функция Ref (г) имеет относительный максимум. Вещественная переменная ? при переходе z через zq вдоль пути со меняет знак. Подставляя г — z0 из (1.7) и l/2f"(z0) из (1.8) в (1.20), получаем
I2 = —Яг2 ехр {г (20 + а)} > 0,
так что
I = Rl/2r по одну сторону z0 и ? = — Rl/2r по другую сторону z0 на пути с0.
Поэтому из формул (1.7) и (1.21) имеем
z — za = ± I ехр (iQ)/R,/2 (I. 22)
или _
dz/dl = ± У2 ехр (10)/1 f" (z0) |'/% (I. 23)
где нам надлежит брать только один из двух знаков для всех точек контура с0 (см. замечания после формулы (1.26)).Под* ставляя f(z) из (I. 19) в (1.1), получаем
/0 (/) « ехр {if (z0)} ^ ехр {— II2 (2)} g (z) dz, (1.24)
Со
где со—путь наискорейшего спуска. Если t положительно и велико, то основной вклад в I0(t) дает интервал со, где ? мало, поскольку при больших ? подынтегральное выражение экспоненциально убывает. Поэтому мы совершим пренебрежимо малую ошибку, если заменим интеграл по контуру
28
1. Линейные волны
в окрестности точки | = 0, 1, интегралом от | = — оо
до g = оо. В результате получим
оо
70 ** ехр {// (z0)} 5 ехр(— tl2)g(z) Щ-di «
—оо
- \ <*Р (- a te <*> + <* - *»> в’ Ы +
— оо
+ (1/2!) (Z - z0)2 g" (z0) + ... } dz * ±VE^oey(8°)l x
x[g(z„,Vf+ •••]. P.»)
так что при больших t
} и ±V^p(^p/L№ g (z). (1.26)
о V / ! (2o) |1/2 s V 0/ \ /
В интервале (—я, я) можно выбрать два возможных значения 0, различающихся на я. В любом конкретном случае мы должны решить, исходя из поведения вещественной и мнимой частей f(z), в каком направлении проходит путь интегрирования через седловую точку. Если мы выберем значение 0, при котором г положительно в точках после прохождения через z0, то следует взять в (1.22) знак плюс при условии, что | меняется от —сю до оо вдоль пути интегрирования. Заметим, что асимптотическое разложение (1.25) надо
ОО
понимать в смысле Пуанкаре; мы говорим, что ? cktzk яв*
ляется асимптотическим представлением функции f(z), если для любого целого положительного п
lim fz"(/(z) — ? cft/z41=0
I z |->oo L I. к-0 ) J
независимо от того, сходится или нет ряд X cklzk• Частичные
?=0
суммы этого ряда представляют f(z) достаточно точно, если \z\ велико, поскольку
f (Z) - ? ck/zk
= О {1/| г |”+1} при | z | —> оо.
