Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Бхатнагар П. -> "Нелинейные волны в одномерных диспергирующих системах " -> 16

Нелинейные волны в одномерных диспергирующих системах - Бхатнагар П.

Бхатнагар П. Нелинейные волны в одномерных диспергирующих системах — М.: Наука, 1989. — 134 c.
Скачать (прямая ссылка): nelineyniesistemivodnorodih1989.djvu
Предыдущая << 1 .. 10 11 12 13 14 15 < 16 > 17 18 19 20 21 22 .. 52 >> Следующая


_______=________________2 dp___________ (о 50)

(3К)>/2 [{(a-Y)-p2}{(a-P)-p2}F ’

Если теперь в последнем уравнении сделать замену р = = д/a — рq, то оно примет следующую форму:

д/а — у —р=- = 77-----ГКТ^------гиТТг • (2.51)

г л/гк {(1 -sV)(i -q )Y12

о СС ¦ .

где s =-----------------------, q ¦¦

-л/Ьг' <2'52)

а — y s/a — р

Из введенного выше порядка нулей ясно, что 0 < s2 <Z 1. Как упоминалось выше, р ^ и ^ а. Из (2.52) следует, что и = а соответствует q = 0, в то время как и = р соответствует <7=1. Поэтому, выбирая ? = 0 при q = 0, получаем

l = -----------*2------!Г= (2.53а)

V а —у J {(1 -sV) (1 -q2)\u

= V^=Tsn_1(<7's)’ (2-53б)

или и (g) = р + (a — Р) СП2 [g д/ , .у], (2.54)
44

2. Некоторые нелинейные уравнения эволюции

где sn и сп — эллиптические функции Якоби (sn-1 — функция, обратная к sn). Из (2.536) получим период Р функции и(|) по координате

Р=2 д/-^- J -------------------- = 4 д/^- К (s'), (2.55)

V а — y J J(1 ¦— s q ) (1 — tf)} v а — y

где K(s) — полный эллиптический интеграл первого рода. Заметим, что в этом случае ограниченное решение уравнения КдФ описывает периодическую волну, период которой может быть определен. Из-за наличия функции сп в выражении и(%) соответствующая волна называется кноидальной.

Случай В: у = р ф а. Здесь и должно быть заключено между у и а, поскольку решение должно быть ограниченным и вещественным. Из уравнений (2.42) и (2.45) при у = р получим

di = л/W ---------ГГ= ’ (2.56)

{и — у) Уа ~ и

что после интегрирования дает

«(?) = Y + (a — Y)sech2(V(a — y)/12/C ?}. (2.57)

Максимум и перемещается и определяется из условия равенства нулю переменной

I = х - (2у + а) //3. (2.58)

Период волны Р задается выражением (2.55):

<2-59>

о

При ?->-±оо из (2.57) получаем и-*-у. Таким образом, у —

— иао означает однородное состояние при |->-±оо. Мы можем обозначить а — у через а и интерпретировать а как амплитуду волны. Поэтому предпочтительней записать (2.57) в виде

«(?) = «оо + a sech2 [ Уа! 12К {х — (а^ + а/3) /} 1. (2.60)

Сделаем следующие важные замечания о полученном реше-

нии:

1. Скорость волны относительно однородного состояния в бесконечности пропорциональна амплитуде а. Это обусловлено эффектом нелинейности волиы.

2. Ширина волны, равная 2п ^\2К/а, обратно пропорциональна квадратному корню из амплитуды.
2.4. Диспергирующие волны

45

3. Ширина волны пропорциональна квадратному корню из /С; роль К заключается в расплывании волны. Дисперсия нелинейной волны проявляется в расплывании волны.

4. Амплитуда не зависит от однородного состояния их при

I = ± оо.

В бегущей волне, представляемой уравнением (2.60), переход от состояния покоя при — оо к состоянию покоя при ?-»-+ оо локализуется в окрестности 1 = 0, как показано

Рис. 2.7. Профиль уединенной волны, приближающийся к постоянным состояниям при ^ = ±°о и локализованной вблизи % = 0.

на рис. 2.7. Мы будем называть такой процесс уединенной волной.

Случай С: у ф |3 = а. Здесь f(u)^ 0, если и ^ у, и нетрудно показать, что в этом случае ограниченное решение невозможно. Мы рассмотрим случай, когда р->-а, но не равно строго а. Так как теперь s2 —0, то из случая А мы сразу получим соотношение

н (?) « а - (а - Р) sin2[V(«-v)/12^ (I - ?„)]. (2-61)

которое в пределе стремится к постоянному значению a, a период

Р —>2я У3/С/(а — у) ¦ (2-62)

Таким образом, мы рассматриваем случай р а как предельный случай синусоидальной волны с конечным периодом, заданным выражением (2.62).
46

2. Некоторые нелинейные уравнения эволюции

2.5. Уединенные волны: солитоны

В следующей главе мы изучим одно из наиболее удивительных свойств уединенной волны, состоящее в том, что две различные уединенные волны (т. е. волны с определенными амплитудами и поэтому с определенными скоростями) после взаимодействия, согласно нелинейному уравнению КдФ, выходят из области взаимодействия без изменения формы. Это свойство характерно для линейных волн. Такое поведение уединенных волн напоминает поведение гладких твердых частиц при столкновении. В связи с этим уединенным (solitary) волнам было дано название солитонов (solitons).

Солитоны могут иметь большое практическое применение. Рассмотрим импульс, несущий некоторую информацию. Если -он подвергается при этом действию больших диссипативных сил, то придет к месту назначения сильно ослабленным. Аналогично импульс, испытывающий при распространении значительную дисперсию, придет к месту назначения столь размытым и искаженным, что информация будет полностью потеряна. Одиако если импульс распространяется в виде соли-тона, то ои может переносить информацию на большие расстояния без искажений и без заметной потери интенсивности.
Предыдущая << 1 .. 10 11 12 13 14 15 < 16 > 17 18 19 20 21 22 .. 52 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed