Нелинейные волны в одномерных диспергирующих системах - Бхатнагар П.
Скачать (прямая ссылка):
Х->оо
Так как потенциал (3.57) является безотражательным, то b(k, 0) = 0, a(k, 0)=1. Следовательно, из уравнений (3.43) и (3.56) получаем
с (t) = с (0) ехр (4/) = л/2 ехр (4/), (3.77)
ВЦ, t) = 2exp(8t -I). (3.78)
При этом интегральное уравнение Гельфанда — Левитана принимает вид
ОО
К(х, у)-\-2ехр(8t — х—у) +2ехр(8/ — у) ^ exp(—z)K(x, z)dz=0.
(3.79)
Рассматривая зависимость (3.79) от у, разумно положить
К(х, у) = L (*) ехр (— у). (3.80)
Это предположение устраняет полностью зависимость (3.79) от у, и результирующее уравнение определяет следующее выражение для Ь(х):
L (я) = — 2 ехр х/[ 1 + ехр (2х — 8/)], (3.81)
так что решение уравнения Гельфанда — Левитана имеет вид
К {х,у) = — 2 ехр (х — у)/[ 1 + ехр (2х — 8/)], (3.82)
3.6. Солитонные решения уравнения КдФ
81
а решение уравнения КдФ, удовлетворяющее начальным условиям (3.57), есть
“<*.<> = -2i-те)““2sech!(*-4,)' (3'83)
что совпадает с решением типа уединенной волны (3.58). Этот простой пример объясняет, как работает метод обратной задачи рассеяния. Между прочим заметим, что только
одна уединенная волна соответствует собственному значению
х — 1.
3.6.2. Двухсолитонное решение
Рассмотрим следующие начальные данные:
и0 (х) = — 6 sech2 х, (3.84)
в которых амплитуда и ширина волны не соответствуют решению типа уединенной волны (3.6) при / = 0. При этом мы должны решить следующую задачу на собственные значения для уравнения Шредингера:
^хх + (^ + 6 sech2 х) я|) = 0. (3.85)
Потенциал ио(х) опять является безотражательным. Попытаемся найти дискретный спектр. Подставляя (3.60) в (3.59) и выбирая s таким, чтобы коэффициент при со не зависел от х, имеем
s = 2, —3. (3.86)
Выбирая s = 2, получаем следующее уравнение для со:
®хх — 4 (th х) со д. + (4 + Я) со = 0.
Теперь при замене независимой переменной на | согласно
(3.66) это уравнение переходит в уравнение
i (1 + I) “Ь О/г — I) 00 s + (4 — х2) со = 0, (3.87)
где формально вместо Я записано —х2. Здесь (3.84) также
четная функция от х, так что мы выпишем четные и нечетные решения уравнения (3.87):
= F(— 1 + х/2, — 1—х/2, '/г. — I), (3.88)
“г = F (— ’/г + и/2, — ’/2 — */2, 3/г. — I), (3.89)
Следовательно, четные и нечетные решения уравнения (3.85) имеют вид
Ч>, = (1/ch2 х) F (— 1 + х/2, - 1 - х/2, 1/2, - sh2 х), (3.90)
•фг = (sh *М2 х) F (— ‘/г + к/2, — ‘/г — «/2, 3/г, — sh2 х). (3.91)
82
3. Взаимодействие солитонов
Здесь ipi и \|)2 —0 при |х|->-оо. Эти граничные условия могут быть удовлетворены лишь в том случае, когда гипергеомет-рические функции (3.90), (3.91) сводятся к полиномам. Уравнение (3.90) допускает приемлемое решение только тогда, когда
и = 2(1 — п) > 0, п — 0, 1, 2, ... .
Это дает только одно значение я = 2, соответствующее п = 0, для которого
г|51 = 1/сЬ2х, % = 2. (3.92)
Функция в (3.91) становится полиномом, когда к = 1 —2п> > 0, п = 0, 1, 2, ... . Здесь также получим лишь одно значение к, а именно х=1, соответствующее п = 0, которое дает допустимое решение
"Фг = sh */ch2 *, %=1. (3.93)
Нормированные функции, соответствующие собственным значениям я = 2их = 1, имеют соответственно вид
ор] = (д/3 /2) sech2х, %i = 2, (3.92')
ар2 = л/3/2 sech2 х • sh х, и2=1. (3.93')
Мы можем сразу определить значения ci(0) и сг(0), как и в (3.76):
сх (0) = lim ехр (2х) (д/3/2ch2*) = 2 д/3 , (3.94)
Х->оо
^2(0)= lim ехр (*) д/зД~ sh*/ch2 * = д/б . (3.95)
оо
Следовательно, из уравнения (3.43) имеем
с, (/) = 2 л/З* ехр (32/), (3.96)
с2 (/) = д/б" ехр (4/). (3.97)
Ядро 5(|) дается формулой
В (g) = 12 ехр (64/ - 21) + 6 ехр (8/ - ?), (3.98)
так что уравнение Гельфанда — Левитана принимает вид К (х, У) + 12 ехр (64/ — 2х — 2у) 6 ехр (8/ — х — у)
оо
^ ехр (64/ — 2у — 2г) + бехр {81 — у — z)] К (х, z)} dz = 0.
(3.99)
3.6. Солитонные решения уравнения КдФ
83
Чтобы сделать это уравнение не зависящим от у, предположим
К (х, у) = CxLi (х) ехр (— 2у) + С212 (х) ехр (— у), (3.100)
где Ci = 12ехр(64/), С2 = 6ехр(8/). (3.101)
