Нелинейные волны в одномерных диспергирующих системах - Бхатнагар П.
Скачать (прямая ссылка):
¦ф = ехр (5'V^'n) Ф + ^ Y'exp у dr|) dr\, (НБ. 32а)
? = ? — ^ a' dr\ + ^ {аехр ( — ^ у dr|) $ v'exp dr\ j dr\,
(ИБ. 326)
где 0 — г|. (ЦБ. 32в)
При этом производится следующая замена переменных:
(I, Ti)-*(?, 0), (ПБ. 33а)
Ф ->ехр (— ^ у d0) j if (?, 0) — ^ v'exp ^ у сШ) сШ j , (ПБ. 336)
а также замена производных по следующей схеме:
д/д1 = д№, (ПБ.ЗЗв)
lr = ^ + [“a/ + aexp(_ S Yrfe)$Y'exp($ Yde)de]^.
(ПБ. ЗЗг)
В результате преобразованное уравнение принимает удобный вид:
г|зе + аехр(— ^ y ? = 0, (ПБ. 34
р раз
где коэффициенты зависят только от 0. Очевидно, что при р — 2 оно сводится к уравнению Бюргерса, а при р = 3 —
Приложение ПБ
65
к уравнению КдФ (с переменными коэффициентами). Теперь мы применим изложенный выше метод к двум случаям, рассмотренным в приложении ПА.
Потоки в каналах Стационарные решения задаются уравнениями
и0Р0п "Ь Р0и0т|— О»
ИоИо,) + (1/Ро) А>п — Ро°т/(Роа) = О,
УРйЩц + ЧоРог) + (У — 1) и0р0 (сг^сг) = 0.
Собственные значения матрицы
«о — я0 Ро 0
А0= 0 и0 — Я0 1/ро
- 0 ур0 и0 — К0
задаются выражениями
\ = и0, ^о = ио±ао> гДе «о = YPo/P,
Выберем собственное значение
= Щ "Ь а0.
Соответствующие ему правый г0 и левый /0 собственные векторы выражаются в виде
'Ро
1о — [0. УРо> #о]
(ПБ. 35а) (ПБ. 356) (ПБ. 35в)
(ПБ. 36)
(ПБ. 37) (ИБ. 38)
Го =
Тогда
а0 ¦УРо J
Q-о Ро 0
(VtH)Uo rQ— 0 а0 — 1/ро
-0 у2р0 а0 J
lor о = 2уро&0‘
Следовательно, из (ПБ.31а) получим
a = [(V+l)/2](a0/^)
Аналогично из (ПБ.31в) имеем 1
(ПБ. 39)
(ИБ. 40а) (ИБ. 406) (ПБ. 41)
[(V — «г-Д Ро + (Т,\ Р.) + К] (ПБ. 42)
и из (ПБ.31г)
У* — '/2<2от/а0 + ^liParJpQ + MoV(Mo + 1),
(ИБ. 43)
где вместо у введено у*, чтобы избежать путаницы, а М0 = = tio/ao — число Маха для невозмущенного потока, опреде-
66
2. Некоторые нелинейные уравнения эволюции
ляемое из (ПБ.35а, б, в). Окончательно получим для переменной ¦
•ф = (а0р0ст)1/2 (М0 -f 1) ф (ПБ. 44)
уравнение Бюргерса в форме
¦ф,, + а*-ф-ф5 + рфц = О, (ПБ. 45)
где
а* = [(у + 1)/2] (а0/Ц) (а0/ор0)1* (НБ.46)
а р зависит только от т].
Волны на мелкой воде при неровном дне В случае h = и = 0 матрица
ГО ЯП
Ао = [1 0J. (ПБ. 47)
поэтому
Я0 = ± Я1/2. (ПБ. 48)
Правый го и левый /0 собственные векторы имеют вид
*-[?]. /о = [1, U (ПБ. 49)
а коэффициенты (ПБ.31) для Яо = Я1/2 задаются выражениями
а = 3/2 (1/Я1/2), Р = 1/6Я1/2, Y = 5/4(1/Я) (^Я/йГл). (ПБ. 50а, б, в) Уравнение КдФ для
1|з = Я5/4ф (ПБ. 51)
примет вид
% + (3/2Я-?/4) М>8 + (76Я,/2) = 0 (ПБ. 52)
с коэффициентами, зависящими только от т].
Между прочим заметим, что аналогичный метод сведения к эталонному уравнению применялся в других ситуациях, например для изучения поведения решений дифференциальных уравнений в окрестности критической точки (Куликовский, Слободкина [1967], Бхатнагар, Прасад [1971], Прасад
[1973]) и для расчета эволюции импульса с искривленным волновым фронтом (Прасад [1975]).
ЛИТЕРАТУРА
Бхатнагар, Прасад (Bhatnagar P. L., Prasad Р.)
[1970, 1971) Study of the self-similar and steady flows near singularities. Part I. — Proc. Roy. Soc., v. A315, p. 569—584; Part II, —ibid., v. A322, p. 45—62.
Приложение ПБ
67
Куликовский А. Г., Слободкина Ф. А.
[1967] Об устойчивости произвольных стационарных течений в окрестности точек перехода через скорость звука. — ПММ, в. 31, № 4, с. 593—602.
Прасад (Prasad Р.)
[1973) Nonlinear wave propagation on an arbitrary steady transonic flow. — J. Fluid Mech., v. 57, p. 721—737.
[1975] Approximation of perturbation equations of a quasi-Iinear hyperbolic system in a neighbourhood of a bicharacteristic. — J. Math.
Analysis and its Appl., v. 50, p. 470—482.
