Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Бхатнагар П. -> "Нелинейные волны в одномерных диспергирующих системах " -> 34

Нелинейные волны в одномерных диспергирующих системах - Бхатнагар П.

Бхатнагар П. Нелинейные волны в одномерных диспергирующих системах — М.: Наука, 1989. — 134 c.
Скачать (прямая ссылка): nelineyniesistemivodnorodih1989.djvu
Предыдущая << 1 .. 28 29 30 31 32 33 < 34 > 35 36 37 38 39 40 .. 52 >> Следующая


Теперь мы изучим поведение решения (3.129) при t ± оо, чтобы доказать, что оно содержит N солитонов. Введем следующие обозначения:

N

и(х, /) = — 2-^К(х, х) = 2~^ ? cmi|)m(*)exр(—итх) =

m •=¦ 1

N N

= 2жТакт{Х)==2Так'т{Х)' (3'132)

т = 1 т=\

где km (.х) = стij)m (лг) ехр (— ктх), или "Фт (х) = (kjcm) ехр (ит *).

(3.133)

Чтобы получить km, запишем (3.118) через km-

Ст еХР (2*тХ) К + 5 К1(*т + \)=1> «=1.2.......N.

(3.134)

Дифференцируя (3.134) по х, получим с-2 ехр (2ктх) k'm + У К1^т + *„) =

П= I

= — 2xmc-2exp(2xmx)km, т = 1, 2, ..., N. (3.135)

Заметим, что мы можем решить (3.134) и получить km и затем найти k'm, необходимое для решения (3.132). Однако мы найдем k'm более удобным и изящным способом с помощью (3.135). Перейдем в уравнениях (3.134) и (3.135) к координатной системе, движущейся со скоростью одного из солитонов, определяемой выражением

? = р=1, 2........N. (3.136)

Уравнения (3.134) и (3.135) примут вид

С. (6) ехр {- 8хш « - *>) 1} km + ? *„/(«„ + *„)-> 1, (3.137)

ст {%) ехр {- 8кт - у2) t) k'm + Z к'п/(кт + %n) =

= - 2*mKCm (6) exp {- 8кт (x2m - K2P) t), (3.138)

где Cm(g) = c-2(0)exp(2Kj). (3.139)
90

5. Взаимодействие солитонов

При m — p эти уравнения имеют вид

N

ср (|) kp+ ? kn/(xm + х„) = 1, (3.140)

ср (i) К + Е k'n/(xm + х„) = - 2'x,pkpCp (i). (3.141)

«=¦1

В дальнейшем расположим собственные значения в порядке убывания:

Kj > х2 > • • • ^ (3* 142)

3.7.1. Асимптотическое поведение при /->оо При /->оо уравнение (3.137) принимает вид

N

Z kn/(xm + к„) = 1, m = 1, 2............р— 1, (3.143)

rt= 1

N

CpiDkp+'Z kn/{xm + Kn)=l, m = p, (3.144) rt=l

?m = 0, m = p+l............N. (3.145)

В силу (3.145) мы можем объединить (3.143) и (3.144); тогда имеем р

1 ^mpCp (i) kp, tTl ¦ ¦ 1, 2...p, ^ 146)

km = 0, m =-p + 1, p + 2, ..N.

Аналогично (3.138) и (3.141) дают

t К /К + *„) = - Ср (i) 6m„ (2xpkp + k'p), m = 1, 2, ..., p,

(3.147)

= - 2xmA:m = 0, m = p+\, p + 2..............N,

Для решения уравнений (3.146) и (3.147) определим матрицы Кр=*[1/(кт + ип)], т, п = 1, 2, .. р, (3.148)

которые имеют положительные определители для всех р = = 1, 2.......jV. Пусть Lp — матрица, полученная из КР заме-

ной последнего столбца на столбец, все элементы которого 1. Из (3.146) и (3.147) по правилу Крамера получим р

km det Кр = ? Ктп — Ср (g) Kpmkp, т— 1,2...........р, (3.149)

1

к’тЫКр = -Ср{1)Крт(2кркр + к'р), т= 1, 2...............р, (3.150)
8.7. Взаимодействие солитонов

91

где Ктп — алгебраическое дополнение к 1 /(%т + и„) в /Ср. Принимая т — р, для kp и k'p имеем

kp = det Lp/[det /Ср + Ср (?) det /Ср-,], (3.151)

К = - ЖР (6) * Д det KPJ[det кр + Cp (6) det (3.152)

Суммируя (3.150) и используя (3.151) и (3.152), получим

— 2хрСр(|)

ШП 2_, Rm - [det /<p/det Lp + Сp (g) det Kp_1/dei Lp]2 * (3-153)

? фикс. m—1

Мы можем легко вычислить определитель КР, вычитая последний столбец (п = р) из каждого предыдущего и вынося общие множители из строк и столбцов:

det /Ср — j" П (Kp — Km) П К + detLp. (3.154)

Lm=l / m = l J

Аналогично, вычитая последнюю строку (п = р) определителя Ьр из каждой другой, вынося общие множители и разлагая по последнему столбцу (состоящему из нулей и единицы на последнем месте), получим

detLp = [n К — *т)/ П(иР —*т)1 det/Cp_t. (3.155)

Lm=l I т=»1 J

Подставляя (3.139), (3.154) и (3.155) в (3.153), получим

lim и (х, t) = lim 2 У k'm= -у—8*р_ехр {2хр U—-У1 _

^ + ехр {2хр (| ?р)}]

= - 2%2р sech2 [ир (| - |р)] =

= - 2и2 sech2 [хр (* - 4х21 - у], (3.156)

где |р дается выражением

ехр {2«pgp} = (с2 (0)/2хр) Д [(*р ~ **w)/(*«p + *m)]2. (3.157)

Формула (3.156) представляет уединенную волну с амплитудой 2к2, движущуюся в положительном направлении оси х с постоянной скоростью 4х2
92

S. Взаимодействие солитонов

3.7.2. Асимптотическое поведение при — оо

В этом случае мы имеем следующие уравнения, соответствующие (3.146) и (3.147):
Предыдущая << 1 .. 28 29 30 31 32 33 < 34 > 35 36 37 38 39 40 .. 52 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed