Нелинейные волны в одномерных диспергирующих системах - Бхатнагар П.
Скачать (прямая ссылка):
Теперь мы изучим поведение решения (3.129) при t ± оо, чтобы доказать, что оно содержит N солитонов. Введем следующие обозначения:
N
и(х, /) = — 2-^К(х, х) = 2~^ ? cmi|)m(*)exр(—итх) =
m •=¦ 1
N N
= 2жТакт{Х)==2Так'т{Х)' (3'132)
т = 1 т=\
где km (.х) = стij)m (лг) ехр (— ктх), или "Фт (х) = (kjcm) ехр (ит *).
(3.133)
Чтобы получить km, запишем (3.118) через km-
Ст еХР (2*тХ) К + 5 К1(*т + \)=1> «=1.2.......N.
(3.134)
Дифференцируя (3.134) по х, получим с-2 ехр (2ктх) k'm + У К1^т + *„) =
П= I
= — 2xmc-2exp(2xmx)km, т = 1, 2, ..., N. (3.135)
Заметим, что мы можем решить (3.134) и получить km и затем найти k'm, необходимое для решения (3.132). Однако мы найдем k'm более удобным и изящным способом с помощью (3.135). Перейдем в уравнениях (3.134) и (3.135) к координатной системе, движущейся со скоростью одного из солитонов, определяемой выражением
? = р=1, 2........N. (3.136)
Уравнения (3.134) и (3.135) примут вид
С. (6) ехр {- 8хш « - *>) 1} km + ? *„/(«„ + *„)-> 1, (3.137)
ст {%) ехр {- 8кт - у2) t) k'm + Z к'п/(кт + %n) =
= - 2*mKCm (6) exp {- 8кт (x2m - K2P) t), (3.138)
где Cm(g) = c-2(0)exp(2Kj). (3.139)
90
5. Взаимодействие солитонов
При m — p эти уравнения имеют вид
N
ср (|) kp+ ? kn/(xm + х„) = 1, (3.140)
ср (i) К + Е k'n/(xm + х„) = - 2'x,pkpCp (i). (3.141)
«=¦1
В дальнейшем расположим собственные значения в порядке убывания:
Kj > х2 > • • • ^ (3* 142)
3.7.1. Асимптотическое поведение при /->оо При /->оо уравнение (3.137) принимает вид
N
Z kn/(xm + к„) = 1, m = 1, 2............р— 1, (3.143)
rt= 1
N
CpiDkp+'Z kn/{xm + Kn)=l, m = p, (3.144) rt=l
?m = 0, m = p+l............N. (3.145)
В силу (3.145) мы можем объединить (3.143) и (3.144); тогда имеем р
1 ^mpCp (i) kp, tTl ¦ ¦ 1, 2...p, ^ 146)
km = 0, m =-p + 1, p + 2, ..N.
Аналогично (3.138) и (3.141) дают
t К /К + *„) = - Ср (i) 6m„ (2xpkp + k'p), m = 1, 2, ..., p,
(3.147)
= - 2xmA:m = 0, m = p+\, p + 2..............N,
Для решения уравнений (3.146) и (3.147) определим матрицы Кр=*[1/(кт + ип)], т, п = 1, 2, .. р, (3.148)
которые имеют положительные определители для всех р = = 1, 2.......jV. Пусть Lp — матрица, полученная из КР заме-
ной последнего столбца на столбец, все элементы которого 1. Из (3.146) и (3.147) по правилу Крамера получим р
km det Кр = ? Ктп — Ср (g) Kpmkp, т— 1,2...........р, (3.149)
1
к’тЫКр = -Ср{1)Крт(2кркр + к'р), т= 1, 2...............р, (3.150)
8.7. Взаимодействие солитонов
91
где Ктп — алгебраическое дополнение к 1 /(%т + и„) в /Ср. Принимая т — р, для kp и k'p имеем
kp = det Lp/[det /Ср + Ср (?) det /Ср-,], (3.151)
К = - ЖР (6) * Д det KPJ[det кр + Cp (6) det (3.152)
Суммируя (3.150) и используя (3.151) и (3.152), получим
— 2хрСр(|)
ШП 2_, Rm - [det /<p/det Lp + Сp (g) det Kp_1/dei Lp]2 * (3-153)
? фикс. m—1
Мы можем легко вычислить определитель КР, вычитая последний столбец (п = р) из каждого предыдущего и вынося общие множители из строк и столбцов:
det /Ср — j" П (Kp — Km) П К + detLp. (3.154)
Lm=l / m = l J
Аналогично, вычитая последнюю строку (п = р) определителя Ьр из каждой другой, вынося общие множители и разлагая по последнему столбцу (состоящему из нулей и единицы на последнем месте), получим
detLp = [n К — *т)/ П(иР —*т)1 det/Cp_t. (3.155)
Lm=l I т=»1 J
Подставляя (3.139), (3.154) и (3.155) в (3.153), получим
lim и (х, t) = lim 2 У k'm= -у—8*р_ехр {2хр U—-У1 _
^ + ехр {2хр (| ?р)}]
= - 2%2р sech2 [ир (| - |р)] =
= - 2и2 sech2 [хр (* - 4х21 - у], (3.156)
где |р дается выражением
ехр {2«pgp} = (с2 (0)/2хр) Д [(*р ~ **w)/(*«p + *m)]2. (3.157)
Формула (3.156) представляет уединенную волну с амплитудой 2к2, движущуюся в положительном направлении оси х с постоянной скоростью 4х2
92
S. Взаимодействие солитонов
3.7.2. Асимптотическое поведение при — оо
В этом случае мы имеем следующие уравнения, соответствующие (3.146) и (3.147):